ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Y สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 3 + j4 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 480 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 480 VZ = 3 + j4 Ω ต่อเฟส

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 150 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.72 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 150 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงเฟสเดียว 100 kVA 6600/230 V ทำงานที่โหลดพิกัด ถือว่าเป็นอุดมคติ หากระแส I_LV ในขดลวดแรงดันต่ำ

S = 100 kVAV₁ = 6600 VV₂ = 230 V

I_LV = A

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 100 kVA มีการสูญเสียในแกน 800 W และการสูญเสียในทองแดง 2400 W ที่โหลดพิกัด จ่ายโหลด 50% ของ kVA พิกัด ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง หาการสูญเสียรวม P_loss เป็นวัตต์ที่โหลดนี้

S = 100 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2400 Wx = 0.5pf = 0.8

P_loss = W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 24 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 230 V หากำลังรีแอกทีฟ Q ที่ดึงมา

P = 24 kWpf = 0.9V = 230 V

Q = kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 150 kVA จ่ายให้โหลด 74 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.85 แบบตามหลัง จะเพิ่มกำลังจริง ΔP ได้อีกเท่าใดในรูปโหลดตัวต้านทาน (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) ก่อนที่หม้อแปลงจะถึงพิกัด kVA

S_max = 150 kVAP₁ = 74 kWpf₁ = 0.85

ΔP = kW

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 50 V (rms) 60 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 1000 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 1 µF

V_C = V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 1.5 N·m/A, R_a = 0.8 Ω) ทำงานจาก 110 V และขับโหลดแรงบิด 12 N·m จงหาความเร็ว n ในหน่วย rpm

V = 110 Vk = 1.5 N·m/AR_a = 0.8 ΩT = 12 N·m

n = rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 1.5 V·s/rad, R_a = 0.5 Ω) บนแหล่งจ่ายคงที่ 220 V ขับโหลด 45 N·m จงหาความต้านทานอนุกรม R_s ที่ทำให้มันช้าลงเหลือ 900 rpm

V = 220 Vk = 1.5 V·s/radR_a = 0.5 ΩT = 45 N·mn = 900 rpm

R_s = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 27.65 kW

แรงดันเฟส

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

กระแสเฟส

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω

I_ph = 277.1/5 = 55.43 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·55.43²·3 = 27.65 kW

คำตอบ

P = 27.65 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.6 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 526.5 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 150·tan(acos 0.72) = 150·0.9639 = 144.6 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 95.28 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 31758/(377·400²) = 526.5 µF

คำตอบ

C_ph = 526.5 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I_LV = 434.8 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

กระแสพิกัด

ขดลวดทั้งสองมีกำลังปรากฏเท่ากัน

I_LV = S/V = 100000/230 = 434.8 A

คำตอบ

I_LV = 434.8 A

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_loss = 1400 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.25·2400 = 600 W

การสูญเสียรวม

การสูญเสียในแกนเท่ากันทุกโหลด

P_loss = 800 + 600 = 1400 W

คำตอบ

P_loss = 1400 W

ประสิทธิภาพที่โหลดนี้คือ η = 96.62%

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q = 11.62 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

มุม

φ = arccos(0.9) = 25.84°, tan φ = 0.4843

กำลังรีแอกทีฟ

Q = P·tan φ = 24·0.4843 = 11.62 kvar

คำตอบ

Q = 11.62 kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: ΔP = 68.82 kW

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

Q₁ = 74·tan(arccos 0.85) = 45.86 kvar

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

ที่พิกัดเต็ม S = S_max และ Q ไม่เปลี่ยนจากโหลดตัวต้านทาน

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 45.86²) = 142.8 kW

กำลังจริงที่เพิ่มได้

ΔP = 142.8 − 74 = 68.82 kW

คำตอบ

ΔP = 68.82 kW

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 15.96 Ω

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = ωL = 2π·60·0.05 = 18.85 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 50/30 = 1.667 A

I_X = V/X_L = 50/18.85 = 2.653 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.667² + 2.653²) = 3.133 A

อิมพีแดนซ์

|Z| = V/I = 50/3.133 = 15.96 Ω

คำตอบ

|Z| = 15.96 Ω

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 13.51 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.25 = 1571 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (1412)²) = 1414 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 120/1414 = 0.08487 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 0.08487·159.2 = 13.51 V

คำตอบ

V_C = 13.51 V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n = 659.5 rpm

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสอาร์เมเจอร์

I_a = T/k = 12/1.5 = 8 A

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและความเร็ว

E = 110 − 8·0.8 = 103.6 V

ω = E/k = 69.07 rad/s → n = 659.5 rpm

คำตอบ

n = 659.5 rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: R_s = 2.121 Ω

กระแสและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน

I_a = 45/1.5 = 30 A

E = 1.5·94.25 = 141.4 V

ความต้านทานอนุกรม

R_a + R_s = (220 − 141.4)/30 = 2.621 Ω

R_s = 2.121 Ω

คำตอบ

R_s = 2.121 Ω

ตัวต้านทานสิ้นเปลืองกำลัง 1909 W ส่วนช็อปเปอร์ควบคุมความเร็วด้วยการสูญเสียที่น้อยกว่ามาก

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems