ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
การต่อแบบ Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
กำลังจริงรวม
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว
Δ: VL Y: VL/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์
Pin = Pout/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ
a = N1/N2 = V1/V2
อัตราส่วนกระแส
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
กระแสพิกัด
I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง
Z1′ = a²·ZL
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน
Pcu = x²·Pcu,fl
ประสิทธิภาพ
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด
x = √(Pcore/Pcu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง
P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ
Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ
S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง
pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์
V = E + IaRa
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด
E = k·ω, T = k·Ia
อัตราเร็ว
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
กำลัง
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
การเริ่มเดิน
Istart = V/(Ra + Rst)
การควบคุมความเร็ว
SR = (n0 − nFL)/nFL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด
Pmax = V²/(4Ra)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์
Va = D·Vdc

วิธีการ

  1. วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน Ra และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
  2. ใช้ V = E + Ia·Ra เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
  3. ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·Ia สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
  4. สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·Ia ลบการสูญเสียในทองแดง Ia²·Ra แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง
ABCVL​ = 415 VNZ = 6 + j8 Ωต่อเฟส

โหลดต่อแบบ Y สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 6 + j8 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 415 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

VL = 415 VZ = 6 + j8 Ω ต่อเฟส
P = kW
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 300 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ Cph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 300 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง
4 ΩN1​N2​400 Ω

เครื่องขยายเสียงที่มีความต้านทานขาออก 400 Ω ขับลำโพง 4 Ω ผ่านหม้อแปลงอุดมคติ เพื่อให้ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ลำโพงต้องดูเหมือน 400 Ω จากเครื่องขยาย หาอัตราส่วนจำนวนรอบ a = N₁/N₂

Rs = 400 ΩRL = 4 Ω
a =
4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก
pf 0.9100 kVA, 25% โหลด

หม้อแปลงเฟสเดียว 100 kVA มีการสูญเสียในแกน 600 W และการสูญเสียในทองแดง 900 W ที่โหลดพิกัด จ่ายโหลด 25% ของ kVA พิกัด ที่ตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง หาการสูญเสียรวม Ploss เป็นวัตต์ที่โหลดนี้

S = 100 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 900 Wx = 0.25pf = 0.9
Ploss = W
5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง
P = 3 kWQ = ?Sφ

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 3 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V หากำลังรีแอกทีฟ Q ที่ดึงมา

P = 3 kWpf = 0.8V = 400 V
Q = kvar
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก
240 V50 Hzโหลด27 kW, 0.6C330 µFI = ?

โหลดเฟสเดียวดึง 27 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.6 แบบตามหลังจากแหล่งจ่าย 240 V 50 Hz ตัวเก็บประจุ 330 µF ต่อขนานกับโหลด หากระแสในสายใหม่ I

P = 27 kWpf1 = 0.6V = 240 Vf = 50 HzC = 330 µF
I = A
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
100 V200 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 4.7 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 200 Hz หากระแส rms I

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
I = A
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
24 Vf0​R = 15 ΩL = 100 mHC = 1 µF

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 24 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms VL ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 1 µF
VL = V
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง
+−VRa​M+−En = 1500 rpmT = ?

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงให้กำลังกล 2.2 kW ที่ 1500 rpm จงหาแรงบิดที่เพลา T

P = 2.2 kWn = 1500 rpm
T = N·m
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก
+−24 VRst​ = ?Ra​ = 0.4 Ω20 AM+−E = 0n = 0T

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง 24 V มีความต้านทานอาร์เมเจอร์ 0.4 Ω จงหาความต้านทานเริ่มเดินแบบอนุกรม Rst ที่จำกัดกระแสเริ่มเดินไว้ที่ 20 A

V = 24 VRa = 0.4 ΩImax = 20 A
Rst = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 10.33 kW

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ

แรงดันเฟส

Vph = 415/√3 = 239.6 V

กระแสเฟส

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 239.6/10 = 23.96 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·Iph²·R = 3·23.96²·6 = 10.33 kW

คำตอบ

P = 10.33 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.6 และ √3·VL·IL·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: Cph = 845 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ QC = P·(tan φ1 − tan φ2) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ QC/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: VL ในชุดแบบ Δ, VL/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q1 = 300·tan(acos 0.8) = 300·0.75 = 225 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

QC = Q1 − Q2 = 126.4 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 42132/(314.2·398.4²) = 845 µF

คำตอบ

Cph = 845 µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: a = 10

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

จับคู่โหลดที่อ้างอิงแล้ว

a²·4 = 400
a = √(400/4) = √100 = 10

คำตอบ

a = 10
4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: Ploss = 656.3 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·Pcu,fl ประสิทธิภาพ η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu) โดย Pout = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·900 = 56.25 W

การสูญเสียรวม

การสูญเสียในแกนเท่ากันทุกโหลด

Ploss = 600 + 56.25 = 656.3 W

คำตอบ

Ploss = 656.3 W

ประสิทธิภาพที่โหลดนี้คือ η = 97.17%

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q = 2.25 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

มุม

φ = arccos(0.8) = 36.87°, tan φ = 0.75

กำลังรีแอกทีฟ

Q = P·tan φ = 3·0.75 = 2.25 kvar

คำตอบ

Q = 2.25 kvar
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 168.3 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q1 = 27·tan(arccos 0.6) = 36 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·330·10⁻⁶ = 5972 var = 5.972 kvar
Q2 = 36 − 5.972 = 30.03 kvar

กำลังปรากฏใหม่

S2 = √(27² + 30.03²) = 40.38 kVA

กระแสในสายใหม่

I = S2/V = 40382/240 = 168.3 A

คำตอบ

I = 168.3 A
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 0.6803 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.25 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (144.8)²) = 147 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 100/147 = 0.6803 A

คำตอบ

I = 0.6803 A
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VL = 506 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·1·10⁻⁶) = 3162 rad/s
I = V/R = 24/15 = 1.6 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

XL = ω₀L = 3162·0.1 = 316.2 Ω
VL = I·XL = 1.6·316.2 = 506 V

คำตอบ

VL = 506 V

นี่คือ Q = 21.08 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: T = 14.01 N·m

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

อัตราเร็วใน rad/s

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

แรงบิด

T = P/ω = 2200/157.1 = 14.01 N·m

คำตอบ

T = 14.01 N·m
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: Rst = 0.8 Ω

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

ความต้านทานรวม

Ra + Rst = 24/20 = 1.2 Ω

ตัวต้านทานเริ่มเดิน

Rst = 1.2 − 0.4 = 0.8 Ω

คำตอบ

Rst = 0.8 Ω

ตัวต้านทานถูกตัดออกทีละขั้นเมื่อมอเตอร์เร็วขึ้นและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มขึ้น

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems