ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
การต่อแบบ Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
กำลังจริงรวม
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว
Δ: VL Y: VL/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์
Pin = Pout/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ
a = N1/N2 = V1/V2
อัตราส่วนกระแส
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
กระแสพิกัด
I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง
Z1′ = a²·ZL
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน
Pcu = x²·Pcu,fl
ประสิทธิภาพ
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด
x = √(Pcore/Pcu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง
P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ
Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ
S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง
pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์
V = E + IaRa
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด
E = k·ω, T = k·Ia
อัตราเร็ว
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
กำลัง
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
การเริ่มเดิน
Istart = V/(Ra + Rst)
การควบคุมความเร็ว
SR = (n0 − nFL)/nFL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด
Pmax = V²/(4Ra)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์
Va = D·Vdc

วิธีการ

  1. วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน Ra และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
  2. ใช้ V = E + Ia·Ra เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
  3. ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·Ia สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
  4. สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·Ia ลบการสูญเสียในทองแดง Ia²·Ra แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M110 kW, η = 93%cos φ = 0.84

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสให้กำลังกลขาออก 110 kW ที่โหลดเต็มพิกัด ที่โหลดนี้ประสิทธิภาพ 93% และตัวประกอบกำลัง 0.84 ล้าหลัง แหล่งจ่ายมีแรงดันสาย–สาย 690 V หากระแสสาย IL

Pout = 110 kWη = 93%cos φ = 0.84VL = 690 V
IL = A
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 50 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 415 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.9 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ Cph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 50 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง
RL​ = 40 Ω2012400 VV2​I1​ = ?I2​

หม้อแปลงอุดมคติที่มีอัตราส่วนจำนวนรอบ N₁:N₂ = 20:1 ป้อน 2400 V ที่ขดลวดปฐมภูมิ ต่อตัวต้านทาน 40 Ω คร่อมขดลวดทุติยภูมิ หากระแสปฐมภูมิ I1

N1:N2 = 20:1V1 = 2400 VRL = 40 Ω
I1 = A
4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก
pf 0.9550 kVA, 50% โหลด

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA มีการสูญเสียในแกน 250 W และการสูญเสียในทองแดง 1000 W ที่โหลดพิกัด จ่ายโหลด 50% ของ kVA พิกัด ที่ตัวประกอบกำลัง 0.95 ล้าหลัง หาการสูญเสียรวม Ploss เป็นวัตต์ที่โหลดนี้

S = 50 kVAPcore = 250 WPcu,fl = 1000 Wx = 0.5pf = 0.95
Ploss = W
5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง
P = 3 kWQ = ?Sφ

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 3 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V หากำลังรีแอกทีฟ Q ที่ดึงมา

P = 3 kWpf = 0.8V = 400 V
Q = kvar
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก
P = 15 kWQ1​S1​φ1​QC​

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 15 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.6 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V 60 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.92 หาความจุ C ที่ต้องใช้

P = 15 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
120 V500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 2.2 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 500 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
cos φ =
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
120 V60 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 80 ΩC = 47 µF

ตัวต้านทาน R1 ต่ออนุกรมกับ R2 ที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C คร่อมแหล่งจ่าย 120 V (rms) 60 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 120 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 80 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงที่มี k = 0.4 N·m/A และ Ra = 0.2 Ω ต่อกับ 120 V จงหาแรงบิดสตอลล์ Tstall ซึ่งเป็นแรงบิดที่ความเร็วศูนย์

V = 120 Vk = 0.4 N·m/ARa = 0.2 Ω
Tstall = N·m
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก
+−24 VRst​ = ?Ra​ = 0.5 Ω10 AM+−E = 0n = 0T

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง 24 V มีความต้านทานอาร์เมเจอร์ 0.5 Ω จงหาความต้านทานเริ่มเดินแบบอนุกรม Rst ที่จำกัดกระแสเริ่มเดินไว้ที่ 10 A

V = 24 VRa = 0.5 ΩImax = 10 A
Rst = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: IL = 117.8 A

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

Pin = Pout/η = 110/0.93 = 118.3 kW

กระแสในสาย

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 118280/(√3·690·0.84) = 117.8 A

คำตอบ

IL = 117.8 A
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: Cph = 210.9 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ QC = P·(tan φ1 − tan φ2) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ QC/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: VL ในชุดแบบ Δ, VL/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q1 = 50·tan(acos 0.65) = 50·1.169 = 58.46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.9) = 50·0.4843 = 24.22 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

QC = Q1 − Q2 = 34.24 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 11413/(314.2·415²) = 210.9 µF

คำตอบ

Cph = 210.9 µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I1 = 0.15 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

แรงดันและกระแสทุติยภูมิ

V2 = 2400/20 = 120 V
I2 = 120/40 = 3 A

กระแสด้านปฐมภูมิ

หม้อแปลงอุดมคติไม่มีการสูญเสีย: V₁·I₁ = V₂·I₂

I1 = I2/20 = 0.15 A

คำตอบ

I1 = 0.15 A

ตรวจสอบ: โหลดที่มองจากด้านปฐมภูมิคือ a²·RL = 16000 Ω และ 2400/16000 ให้กระแสเท่ากัน

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: Ploss = 500 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·Pcu,fl ประสิทธิภาพ η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu) โดย Pout = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·1000 = 250 W

การสูญเสียรวม

การสูญเสียในแกนเท่ากันทุกโหลด

Ploss = 250 + 250 = 500 W

คำตอบ

Ploss = 500 W

ประสิทธิภาพที่โหลดนี้คือ η = 97.94%

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q = 2.25 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

มุม

φ = arccos(0.8) = 36.87°, tan φ = 0.75

กำลังรีแอกทีฟ

Q = P·tan φ = 3·0.75 = 2.25 kvar

คำตอบ

Q = 2.25 kvar
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: C = 225.6 µF

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(53.13°) = 20 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(23.07°) = 6.39 kvar
QC = Q1 − Q2 = 13.61 kvar

ความจุไฟฟ้า

ตัวเก็บประจุที่คร่อมแหล่งจ่ายจ่าย Q = V²·ωC

C = QC/(2πf·V²) = 13610/(2π·60·400²) = 225.6 µF

คำตอบ

C = 225.6 µF
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.1803

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XL = 62.83 Ω, XC = 144.7 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(15² + (−81.85)²) = 83.22 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 15/83.22 = 0.1803
วงจรเป็นเชิงความจุ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบนำ

คำตอบ

cos φ = 0.1803
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 67.98 Ω

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

ส่วนที่ต่อขนาน

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคเชิงซ้อนเพื่อแยก Zp เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 26.58 − j37.68 Ω

อิมพีแดนซ์รวม

Z = 30 + 26.58 − j37.68 = 56.58 − j37.68 Ω
|Z| = √(56.58² + 37.68²) = 67.98 Ω

คำตอบ

|Z| = 67.98 Ω
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: Tstall = 240 N·m

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสสตอลล์

Ia = V/Ra = 120/0.2 = 600 A

แรงบิดสตอลล์

Tstall = 0.4·600 = 240 N·m

คำตอบ

Tstall = 240 N·m
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: Rst = 1.9 Ω

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

ความต้านทานรวม

Ra + Rst = 24/10 = 2.4 Ω

ตัวต้านทานเริ่มเดิน

Rst = 2.4 − 0.5 = 1.9 Ω

คำตอบ

Rst = 1.9 Ω

ตัวต้านทานถูกตัดออกทีละขั้นเมื่อมอเตอร์เร็วขึ้นและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มขึ้น

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems