ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
การต่อแบบ Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
กำลังจริงรวม
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว
Δ: VL Y: VL/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์
Pin = Pout/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ
a = N1/N2 = V1/V2
อัตราส่วนกระแส
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
กระแสพิกัด
I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง
Z1′ = a²·ZL
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน
Pcu = x²·Pcu,fl
ประสิทธิภาพ
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด
x = √(Pcore/Pcu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง
P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ
Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ
S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง
pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์
V = E + IaRa
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด
E = k·ω, T = k·Ia
อัตราเร็ว
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
กำลัง
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
การเริ่มเดิน
Istart = V/(Ra + Rst)
การควบคุมความเร็ว
SR = (n0 − nFL)/nFL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด
Pmax = V²/(4Ra)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์
Va = D·Vdc

วิธีการ

  1. วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน Ra และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
  2. ใช้ V = E + Ia·Ra เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
  3. ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·Ia สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
  4. สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·Ia ลบการสูญเสียในทองแดง Ia²·Ra แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M75 kW, η = 90%cos φ = 0.9

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสให้กำลังกลขาออก 75 kW ที่โหลดเต็มพิกัด ที่โหลดนี้ประสิทธิภาพ 90% และตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง แหล่งจ่ายมีแรงดันสาย–สาย 480 V หากระแสสาย IL

Pout = 75 kWη = 90%cos φ = 0.9VL = 480 V
IL = A
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 120 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.98 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ Cph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 120 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง
RL​ = 20 Ω41960 VV2​I1​ = ?I2​

หม้อแปลงอุดมคติที่มีอัตราส่วนจำนวนรอบ N₁:N₂ = 4:1 ป้อน 960 V ที่ขดลวดปฐมภูมิ ต่อตัวต้านทาน 20 Ω คร่อมขดลวดทุติยภูมิ หากระแสปฐมภูมิ I1

N1:N2 = 4:1V1 = 960 VRL = 20 Ω
I1 = A
4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก
pf 0.8100 kVA, η = 98.5%

หม้อแปลงเฟสเดียว 100 kVA มีการสูญเสียในแกน 600 W ที่โหลดพิกัดและตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง ประสิทธิภาพคือ 98.5% หาการสูญเสียในทองแดงที่โหลดเต็ม Pcu,fl เป็นวัตต์

S = 100 kVAPcore = 600 Wpf = 0.8η = 98.5%
Pcu,fl = W
5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง
P = 32 kWQSφ

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 32 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.85 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V หากระแสในสาย I

P = 32 kWpf = 0.85V = 400 V
I = A
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก
P = 5 kWQ1​S1​φ1​QC​

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 5 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V 50 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.9 หากำลังรีแอกทีฟ QC ที่ตัวเก็บประจุต้องจ่าย

P = 5 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9V = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
24 V200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 4.7 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 200 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
cos φ =
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
230 V200 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩC = 22 µFI

ตัวต้านทาน R1 ต่ออนุกรมกับ R2 ที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C คร่อมแหล่งจ่าย 230 V (rms) 200 Hz หากระแส rms I

V = 230 V (rms)f = 200 HzR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩC = 22 µF
I = A
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง
+−24 VRa​ = 0.2 ΩIa​ = 10 AM+−EωT

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงดึงกระแส 10 A จากแหล่งจ่าย 24 V ความต้านทานอาร์เมเจอร์ของมันคือ 0.2 Ω และการสูญเสียจากการหมุน (แรงเสียดทาน ลม และเหล็ก) คือ 9 W จงหาประสิทธิภาพ η

V = 24 VIa = 10 ARa = 0.2 ΩProt = 9 W
η = %
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก
+−120 VRa​ = 1.5 ΩM+−En = ?T = 5 N·m

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงกระตุ้นแยก (k = 1 V·s/rad ที่สนามเต็ม, Ra = 1.5 Ω, V = 120 V) ขับโหลดแรงบิดคงที่ 5 N·m ฟลักซ์สนามถูกลดเหลือ 75 % ของค่าเต็ม จงหาความเร็วใหม่ n

V = 120 Vk = 1 V·s/radRa = 1.5 ΩT = 5 N·mΦ = 75 %
n = rpm

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: IL = 111.4 A

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

Pin = Pout/η = 75/0.9 = 83.33 kW

กระแสในสาย

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 83333/(√3·480·0.9) = 111.4 A

คำตอบ

IL = 111.4 A
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: Cph = 215.3 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ QC = P·(tan φ1 − tan φ2) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ QC/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: VL ในชุดแบบ Δ, VL/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q1 = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

QC = Q1 − Q2 = 115.9 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 38643/(377·690²) = 215.3 µF

คำตอบ

Cph = 215.3 µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I1 = 3 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

แรงดันและกระแสทุติยภูมิ

V2 = 960/4 = 240 V
I2 = 240/20 = 12 A

กระแสด้านปฐมภูมิ

หม้อแปลงอุดมคติไม่มีการสูญเสีย: V₁·I₁ = V₂·I₂

I1 = I2/4 = 3 A

คำตอบ

I1 = 3 A

ตรวจสอบ: โหลดที่มองจากด้านปฐมภูมิคือ a²·RL = 320 Ω และ 960/320 ให้กระแสเท่ากัน

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: Pcu,fl = 618.3 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·Pcu,fl ประสิทธิภาพ η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu) โดย Pout = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

กำลังขาออกและขาเข้า

Pout = 100·0.8 = 80 kW
Pin = 80000/0.985 = 81218 W

การสูญเสียรวมและการสูญเสียในทองแดง

Ploss = 81218 − 80000 = 1218 W
Pcu,fl = 1218 − 600 = 618.3 W

คำตอบ

Pcu,fl = 618.3 W
5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 94.12 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กระแสในสาย

มีเพียงส่วนจริงของกำลังเท่านั้นที่ทำงาน จึงหารด้วยตัวประกอบกำลัง

I = P/(V·cos φ) = 32000/(400·0.85) = 94.12 A

คำตอบ

I = 94.12 A
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: QC = 3.424 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(49.46°) = 5.846 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(25.84°) = 2.422 kvar
QC = Q1 − Q2 = 3.424 kvar

คำตอบ

QC = 3.424 kvar
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.3263

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XL = 314.2 Ω, XC = 169.3 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(50² + (144.8)²) = 153.2 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 50/153.2 = 0.3263
วงจรเป็นเชิงเหนี่ยวนำ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบตามหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.3263
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 6.333 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

ส่วนที่ต่อขนาน

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคเชิงซ้อนเพื่อแยก Zp เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15.32 − j8.469 Ω

อิมพีแดนซ์รวม

Z = 20 + 15.32 − j8.469 = 35.32 − j8.469 Ω
|Z| = √(35.32² + 8.469²) = 36.32 Ω

กระแส

I = V/|Z| = 230/36.32 = 6.333 A

คำตอบ

I = 6.333 A
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: η = 87.92 %

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กำลัง

Pin = 24·10 = 240 W
Pdev = 22·10 = 220 W
Pout = 220 − 9 = 211 W

ประสิทธิภาพ

η = 211/240·100 = 87.92 %

คำตอบ

η = 87.92 %
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n = 1401 rpm

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

ค่าคงที่มอเตอร์เมื่อสนามอ่อนลง

k₂ = 0.75·1 = 0.75 V·s/rad

กระแสอาร์เมเจอร์ใหม่

Ia = 5/0.75 = 6.667 A

ความเร็วใหม่

ω = (120 − 6.667·1.5)/0.75 = 146.7 rad/s → n = 1401 rpm

คำตอบ

n = 1401 rpm

การทำให้สนามอ่อนลงคือวิธีที่ไดรฟ์ไฟฟ้ากระแสตรงทำงานเหนือความเร็วฐาน

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems