ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดสามเฟสสมดุลดึงกระแสสาย 75 A จากแหล่งจ่ายที่มีแรงดันสาย–สาย 208 V ตัวประกอบกำลังคือ 0.85 ล้าหลัง หากำลังจริงรวม P ที่โหลดใช้ใน kW

V_L = 208 VI_L = 75 Acos φ = 0.85

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 75 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.72 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 75 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA 4160/480 V ทำงานที่โหลดพิกัด ถือว่าเป็นอุดมคติ หากระแส I_LV ในขดลวดแรงดันต่ำ

S = 50 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_LV = A

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 500 kVA มีการสูญเสียในแกน 3000 W และการสูญเสียในทองแดง 12000 W ที่โหลดพิกัด ที่โหลดเท่าใด S_η,max ใน kVA ประสิทธิภาพจึงสูงสุด

S = 500 kVAP_core = 3000 WP_cu,fl = 12000 W

S_η,max = kVA

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดเชิงเหนี่ยวนำดึง 2.5 A และ 460 W จากแหล่งจ่ายเฟสเดียว 230 V (rms) จงจำลองเป็นความต้านทาน R อนุกรมกับรีแอกแตนซ์ X จงหา R

V = 230 VI = 2.5 AP = 460 W

R = Ω

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

แหล่งกำเนิด 50 V (rms) 50 Hz มีอิมพีแดนซ์ภายใน Z_s = 8 + j30 Ω เลือกอิมพีแดนซ์โหลด Z_L ได้อย่างอิสระ จงหากำลังจริงสูงสุด P_max ที่ส่งให้โหลดได้

V_s = 50 V (rms)f = 50 HzZ_s = 8 + j30 Ω

P_max = W

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 10 V (rms) 200 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 100 µF

φ = °

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 200 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

V_C = V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 1.5 N·m/A, R_a = 0.4 Ω) ทำงานจาก 220 V และขับโหลดแรงบิด 60 N·m จงหาความเร็ว n ในหน่วย rpm

V = 220 Vk = 1.5 N·m/AR_a = 0.4 ΩT = 60 N·m

n = rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 1.5 V·s/rad, R_a = 1.2 Ω) บนแหล่งจ่ายคงที่ 110 V ขับโหลด 12 N·m จงหาความต้านทานอนุกรม R_s ที่ทำให้มันช้าลงเหลือ 400 rpm

V = 110 Vk = 1.5 V·s/radR_a = 1.2 ΩT = 12 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 22.97 kW

กำลังปรากฏ

S = √3·V_L·I_L = √3·208·75 = 27.02 kVA

กำลังจริง

P = S·cos φ = 27.02·0.85 = 22.97 kW

คำตอบ

P = 22.97 kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 263.3 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 75·tan(acos 0.72) = 75·0.9639 = 72.29 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 47.64 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 15879/(377·400²) = 263.3 µF

คำตอบ

C_ph = 263.3 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I_LV = 104.2 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

กระแสพิกัด

ขดลวดทั้งสองมีกำลังปรากฏเท่ากัน

I_LV = S/V = 50000/480 = 104.2 A

คำตอบ

I_LV = 104.2 A

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: S_η,max = 250 kVA

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

x²·12000 = 3000 → x = √(3000/12000) = 0.5

โหลดที่ประสิทธิภาพสูงสุด

S_η,max = x·S = 0.5·500 = 250 kVA

คำตอบ

S_η,max = 250 kVA

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: R = 73.6 Ω

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

ความต้านทานจากกำลังจริง

R = P/I² = 460/2.5² = 73.6 Ω

คำตอบ

R = 73.6 Ω

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: P_max = 78.13 W

การจับคู่สังยุค

รีแอกแตนซ์ของโหลดหักล้างรีแอกแตนซ์ของแหล่งกำเนิด และความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานแหล่งกำเนิด

Z_L = Z_s* = 8 − j30 Ω

กำลังสูงสุด

I = V_s/(2R_s) = 50/16 = 3.125 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 50²/(4·8) = 78.13 W

คำตอบ

P_max = 78.13 W

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 77.51 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (180.5)²) = 184.9 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(180.5/40) = 77.51°

คำตอบ

φ = 77.51°

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 53.59 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−336.6)²) = 337.5 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 50/337.5 = 0.1481 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 0.1481·361.7 = 53.59 V

คำตอบ

V_C = 53.59 V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n = 1299 rpm

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสอาร์เมเจอร์

I_a = T/k = 60/1.5 = 40 A

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและความเร็ว

E = 220 − 40·0.4 = 204 V

ω = E/k = 136 rad/s → n = 1299 rpm

คำตอบ

n = 1299 rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: R_s = 4.696 Ω

กระแสและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน

I_a = 12/1.5 = 8 A

E = 1.5·41.89 = 62.83 V

ความต้านทานอนุกรม

R_a + R_s = (110 − 62.83)/8 = 5.896 Ω

R_s = 4.696 Ω

คำตอบ

R_s = 4.696 Ω

ตัวต้านทานสิ้นเปลืองกำลัง 300.5 W ส่วนช็อปเปอร์ควบคุมความเร็วด้วยการสูญเสียที่น้อยกว่ามาก

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems