ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Y สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 24 + j7 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 480 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 480 VZ = 24 + j7 Ω ต่อเฟส

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 250 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.9 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 250 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA 11000/400 V ทำงานที่โหลดพิกัด ถือว่าเป็นอุดมคติ หากระแส I_LV ในขดลวดแรงดันต่ำ

S = 50 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 25 kVA มีการสูญเสียในแกน 200 W ที่โหลดพิกัดและตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง ประสิทธิภาพคือ 98% หาการสูญเสียในทองแดงที่โหลดเต็ม P_cu,fl เป็นวัตต์

S = 25 kVAP_core = 200 Wpf = 0.9η = 98%

P_cu,fl = W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดเชิงเหนี่ยวนำดึง 2 A และ 180 W จากแหล่งจ่ายเฟสเดียว 120 V (rms) จงจำลองเป็นความต้านทาน R อนุกรมกับรีแอกแตนซ์ X จงหา X

V = 120 VI = 2 AP = 180 W

X = Ω

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 30 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.6 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 230 V 60 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.95 หากระแสในสายใหม่ I_new

P = 30 kWpf₁ = 0.6pf₂ = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 200 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 22 µF

cos φ =

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 50 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 47 µF

V_C = V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 0.6 N·m/A, R_a = 0.5 Ω) ทำงานจาก 120 V และขับโหลดแรงบิด 18 N·m จงหาความเร็ว n ในหน่วย rpm

V = 120 Vk = 0.6 N·m/AR_a = 0.5 ΩT = 18 N·m

n = rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงกระตุ้นแยกที่ 220 V (R_a = 1.5 Ω) หมุนที่ 1200 rpm ด้วยกระแสอาร์เมเจอร์ 10 A โหลดเปลี่ยนไปและกระแสกลายเป็น 6 A โดยสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยน จงหาความเร็วใหม่ n₂

V = 220 VR_a = 1.5 Ωn₁ = 1200 rpmI_a1 = 10 AI_a2 = 6 A

n₂ = rpm

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 8.847 kW

แรงดันเฟส

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

กระแสเฟส

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I_ph = 277.1/25 = 11.09 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·11.09²·24 = 8.847 kW

คำตอบ

P = 8.847 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.96 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 953.8 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 250·tan(acos 0.65) = 250·1.169 = 292.3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 171.2 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 57067/(377·398.4²) = 953.8 µF

คำตอบ

C_ph = 953.8 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I_LV = 125 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

กระแสพิกัด

ขดลวดทั้งสองมีกำลังปรากฏเท่ากัน

I_LV = S/V = 50000/400 = 125 A

คำตอบ

I_LV = 125 A

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_cu,fl = 259.2 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

กำลังขาออกและขาเข้า

P_out = 25·0.9 = 22.5 kW

P_in = 22500/0.98 = 22959 W

การสูญเสียรวมและการสูญเสียในทองแดง

P_loss = 22959 − 22500 = 459.2 W

P_cu,fl = 459.2 − 200 = 259.2 W

คำตอบ

P_cu,fl = 259.2 W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: X = 39.69 Ω

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

ความต้านทานจากกำลังจริง

R = P/I² = 180/2² = 45 Ω

รีแอกแตนซ์จากอิมพีแดนซ์

|Z| = V/I = 120/2 = 60 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(60² − 45²) = 39.69 Ω

คำตอบ

X = 39.69 Ω

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I_new = 137.3 A

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(53.13°) = 40 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(18.19°) = 9.861 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30.14 kvar

กระแสในสายใหม่

I_new = P/(V·cos φ₂) = 30000/(230·0.95) = 137.3 A

คำตอบ

I_new = 137.3 A

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.9138

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 62.83 Ω, X_C = 36.17 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(60² + (26.66)²) = 65.66 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 60/65.66 = 0.9138

วงจรเป็นเชิงเหนี่ยวนำ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบตามหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.9138

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 611.2 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−20.6)²) = 25.48 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 230/25.48 = 9.025 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 9.025·67.73 = 611.2 V

คำตอบ

V_C = 611.2 V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n = 1671 rpm

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสอาร์เมเจอร์

I_a = T/k = 18/0.6 = 30 A

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและความเร็ว

E = 120 − 30·0.5 = 105 V

ω = E/k = 175 rad/s → n = 1671 rpm

คำตอบ

n = 1671 rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n₂ = 1235 rpm

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านก่อนและหลัง

E₁ = 220 − 10·1.5 = 205 V

E₂ = 220 − 6·1.5 = 211 V

ความเร็วใหม่

n₂ = 1200·211/205 = 1235 rpm

คำตอบ

n₂ = 1235 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems