ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสให้กำลังกลขาออก 7.5 kW ที่โหลดเต็มพิกัด ที่โหลดนี้ประสิทธิภาพ 92% และตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง แหล่งจ่ายมีแรงดันสาย–สาย 690 V หากระแสสาย I_L

P_out = 7.5 kWη = 92%cos φ = 0.9V_L = 690 V

I_L = A

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 50 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.98 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 50 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA 7200/240 V ทำงานที่โหลดพิกัด ถือว่าเป็นอุดมคติ หากระแส I_LV ในขดลวดแรงดันต่ำ

S = 50 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 100 kVA มีการสูญเสียในแกน 400 W และการสูญเสียในทองแดง 1600 W ที่โหลดพิกัด ที่โหลดเท่าใด S_η,max ใน kVA ประสิทธิภาพจึงสูงสุด

S = 100 kVAP_core = 400 WP_cu,fl = 1600 W

S_η,max = kVA

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 400 V: โหลด 13 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 แบบตามหลัง และ ฮีตเตอร์ 12 kW (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) จงหาตัวประกอบกำลังรวม cos φ ที่แหล่งจ่ายเห็น

V = 400 VP₁ = 13 kW, pf₁ = 0.65 ล้าหลังP₂ = 12 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวดึง 30 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลังจากแหล่งจ่าย 400 V 60 Hz ตัวเก็บประจุ 220 µF ต่อขนานกับโหลด จงหาตัวประกอบกำลังใหม่ cos φ ที่แหล่งจ่ายเห็น

P = 30 kWpf₁ = 0.7V = 400 Vf = 60 HzC = 220 µF

cos φ =

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมที่มี C = 10 µF ต้องเรโซแนนซ์ที่ 60 Hz จงหาความเหนี่ยวนำ L ที่ต้องการ

f₀ = 60 HzC = 10 µF

L = mH

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 12 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF

V_L = V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 0.08 N·m/A, R_a = 1.2 Ω) ทำงานจาก 24 V และขับโหลดแรงบิด 0.16 N·m จงหาความเร็ว n ในหน่วย rpm

V = 24 Vk = 0.08 N·m/AR_a = 1.2 ΩT = 0.16 N·m

n = rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 0.75 V·s/rad, R_a = 2 Ω) บนแหล่งจ่ายคงที่ 48 V ขับโหลด 1.5 N·m จงหาความต้านทานอนุกรม R_s ที่ทำให้มันช้าลงเหลือ 500 rpm

V = 48 Vk = 0.75 V·s/radR_a = 2 ΩT = 1.5 N·mn = 500 rpm

R_s = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: I_L = 7.579 A

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

P_in = P_out/η = 7.5/0.92 = 8.152 kW

กระแสในสาย

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8152/(√3·690·0.9) = 7.579 A

คำตอบ

I_L = 7.579 A

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 50.79 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 50·tan(acos 0.8) = 50·0.75 = 37.5 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 27.35 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9116/(377·690²) = 50.79 µF

คำตอบ

C_ph = 50.79 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I_LV = 208.3 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

กระแสพิกัด

ขดลวดทั้งสองมีกำลังปรากฏเท่ากัน

I_LV = S/V = 50000/240 = 208.3 A

คำตอบ

I_LV = 208.3 A

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: S_η,max = 50 kVA

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

x²·1600 = 400 → x = √(400/1600) = 0.5

โหลดที่ประสิทธิภาพสูงสุด

S_η,max = x·S = 0.5·100 = 50 kVA

คำตอบ

S_η,max = 50 kVA

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: cos φ = 0.8545

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 13·tan(arccos 0.65) = 15.2 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

ผลรวม

P = 13 + 12 = 25 kW

Q = 15.2 + 0 = 15.2 kvar

S = √(25² + 15.2²) = 29.26 kVA

ตัวประกอบกำลังรวม

cos φ = P/S = 25/29.26 = 0.8545 ล้าหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.8545

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: cos φ = 0.8658

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = 30·tan(arccos 0.7) = 30.61 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·220·10⁻⁶ = 13270 var = 13.27 kvar

Q₂ = 30.61 − 13.27 = 17.34 kvar

กำลังปรากฏใหม่

S₂ = √(30² + 17.34²) = 34.65 kVA

ตัวประกอบกำลังใหม่

cos φ = P/S₂ = 30/34.65 = 0.8658

คำตอบ

cos φ = 0.8658

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: L = 703.6 mH

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·10·10⁻⁶) = 703.6 mH

คำตอบ

L = 703.6 mH

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 75.89 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·1·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 12/50 = 0.24 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 3162·0.1 = 316.2 Ω

V_L = I·X_L = 0.24·316.2 = 75.89 V

คำตอบ

V_L = 75.89 V

นี่คือ Q = 6.325 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n = 2578 rpm

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสอาร์เมเจอร์

I_a = T/k = 0.16/0.08 = 2 A

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและความเร็ว

E = 24 − 2·1.2 = 21.6 V

ω = E/k = 270 rad/s → n = 2578 rpm

คำตอบ

n = 2578 rpm

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: R_s = 2.365 Ω

กระแสและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน

I_a = 1.5/0.75 = 2 A

E = 0.75·52.36 = 39.27 V

ความต้านทานอนุกรม

R_a + R_s = (48 − 39.27)/2 = 4.365 Ω

R_s = 2.365 Ω

คำตอบ

R_s = 2.365 Ω

ตัวต้านทานสิ้นเปลืองกำลัง 9.46 W ส่วนช็อปเปอร์ควบคุมความเร็วด้วยการสูญเสียที่น้อยกว่ามาก

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems