ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Y สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 8 + j6 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 480 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 480 VZ = 8 + j6 Ω ต่อเฟส

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 100 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 100 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

ต่อตัวต้านทาน 8 Ω คร่อมขดลวดทุติยภูมิของหม้อแปลงอุดมคติที่มีอัตราส่วนจำนวนรอบ N₁:N₂ = 3:1 หาความต้านทาน R_1′ ที่มองเข้าไปจากขดลวดปฐมภูมิ

N₁:N₂ = 3:1R_L = 8 Ω

R_1′ = Ω

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 75 kVA มีการสูญเสียในแกน 450 W และการสูญเสียในทองแดง 675 W ที่โหลดพิกัด ที่โหลดเท่าใด S_η,max ใน kVA ประสิทธิภาพจึงสูงสุด

S = 75 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 675 W

S_η,max = kVA

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดเชิงเหนี่ยวนำดึง 8 A และ 1536 W จากแหล่งจ่ายเฟสเดียว 240 V (rms) จงจำลองเป็นความต้านทาน R อนุกรมกับรีแอกแตนซ์ X จงหา X

V = 240 VI = 8 AP = 1536 W

X = Ω

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 20 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 240 V 60 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.92 หากระแสในสายใหม่ I_new

P = 20 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 24 V (rms) 60 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mH

|Z| = Ω

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมมี R = 2 Ω, L = 5 mH และ C = 0.1 µF จงหาแบนด์วิดท์ B (ความกว้างของแถบระหว่างความถี่กำลังครึ่ง) ใน Hz

R = 2 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF

B = Hz

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงที่มี k = 1.2 N·m/A และ R_a = 0.2 Ω ต่อกับ 240 V จงหาแรงบิดสตอลล์ T_stall ซึ่งเป็นแรงบิดที่ความเร็วศูนย์

V = 240 Vk = 1.2 N·m/AR_a = 0.2 Ω

T_stall = N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง 220 V มีความต้านทานอาร์เมเจอร์ 1.2 Ω จงหาความต้านทานเริ่มเดินแบบอนุกรม R_st ที่จำกัดกระแสเริ่มเดินไว้ที่ 20 A

V = 220 VR_a = 1.2 ΩI_max = 20 A

R_st = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 18.43 kW

แรงดันเฟส

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

กระแสเฟส

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I_ph = 277.1/10 = 27.71 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·27.71²·8 = 18.43 kW

คำตอบ

P = 18.43 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.8 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 232.8 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 100·tan(acos 0.8) = 100·0.75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 42.13 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14044/(377·400²) = 232.8 µF

คำตอบ

C_ph = 232.8 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: R_1′ = 72 Ω

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

ความต้านทานที่อ้างอิง

แรงดันเพิ่มขึ้น a เท่าและกระแสลดลง a เท่า อัตราส่วน V/I จึงเพิ่มขึ้น a² เท่า

R_1′ = a²·R_L = 3²·8 = 72 Ω

คำตอบ

R_1′ = 72 Ω

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: S_η,max = 61.24 kVA

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

x²·675 = 450 → x = √(450/675) = 0.8165

โหลดที่ประสิทธิภาพสูงสุด

S_η,max = x·S = 0.8165·75 = 61.24 kVA

คำตอบ

S_η,max = 61.24 kVA

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: X = 18 Ω

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

ความต้านทานจากกำลังจริง

R = P/I² = 1536/8² = 24 Ω

รีแอกแตนซ์จากอิมพีแดนซ์

|Z| = V/I = 240/8 = 30 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(30² − 24²) = 18 Ω

คำตอบ

X = 18 Ω

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I_new = 90.58 A

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(36.87°) = 15 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(23.07°) = 8.52 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6.48 kvar

กระแสในสายใหม่

I_new = P/(V·cos φ₂) = 20000/(240·0.92) = 90.58 A

คำตอบ

I_new = 90.58 A

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 13.94 Ω

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 24/15 = 1.6 A

I_X = V/X_L = 24/37.7 = 0.6366 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.6² + 0.6366²) = 1.722 A

อิมพีแดนซ์

|Z| = V/I = 24/1.722 = 13.94 Ω

คำตอบ

|Z| = 13.94 Ω

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: B = 63.66 Hz

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = 1/(2π·√(0.005·0.1·10⁻⁶)) = 7118 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.005/(0.1·10⁻⁶)) = 111.8

แบนด์วิดท์

B = f₀/Q = 7118/111.8 = 63.66 Hz

คำตอบ

B = 63.66 Hz

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: T_stall = 1440 N·m

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสสตอลล์

I_a = V/R_a = 240/0.2 = 1200 A

แรงบิดสตอลล์

T_stall = 1.2·1200 = 1440 N·m

คำตอบ

T_stall = 1440 N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: R_st = 9.8 Ω

ความต้านทานรวม

R_a + R_st = 220/20 = 11 Ω

ตัวต้านทานเริ่มเดิน

R_st = 11 − 1.2 = 9.8 Ω

คำตอบ

R_st = 9.8 Ω

ตัวต้านทานถูกตัดออกทีละขั้นเมื่อมอเตอร์เร็วขึ้นและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มขึ้น

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems