ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดสามเฟสสมดุลดึงกระแสสาย 50 A จากแหล่งจ่ายที่มีแรงดันสาย–สาย 690 V ตัวประกอบกำลังคือ 0.9 ล้าหลัง หากำลังจริงรวม P ที่โหลดใช้ใน kW

V_L = 690 VI_L = 50 Acos φ = 0.9

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 300 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.75 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.98 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 300 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.98V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA 2400/240 V ทำงานที่โหลดพิกัด ถือว่าเป็นอุดมคติ หากระแส I_HV ในขดลวดแรงดันสูง

S = 50 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 250 kVA มีการสูญเสียในแกน 1500 W ที่โหลดพิกัดและตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง ประสิทธิภาพคือ 98.8% หาการสูญเสียในทองแดงที่โหลดเต็ม P_cu,fl เป็นวัตต์

S = 250 kVAP_core = 1500 Wpf = 0.8η = 98.8%

P_cu,fl = W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 240 V: โหลด 4 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลัง และ ฮีตเตอร์ 27 kW (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) จงหากระแสรวม I ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 240 VP₁ = 4 kW, pf₁ = 0.7 ล้าหลังP₂ = 27 kW, pf₂ = 1

I = A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 200 kVA จ่ายให้โหลด 94 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 แบบตามหลัง จะเพิ่มกำลังจริง ΔP ได้อีกเท่าใดในรูปโหลดตัวต้านทาน (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) ก่อนที่หม้อแปลงจะถึงพิกัด kVA

S_max = 200 kVAP₁ = 94 kWpf₁ = 0.8

ΔP = kW

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 60 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µF

P = W

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 2 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 10 mHC = 4.7 µF

V_L = V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงให้กำลังกล 11 kW ที่ 1000 rpm จงหาแรงบิดที่เพลา T

P = 11 kWn = 1000 rpm

T = N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงกระตุ้นแยกที่ 110 V (R_a = 0.8 Ω) หมุนที่ 1200 rpm ด้วยกระแสอาร์เมเจอร์ 8 A โหลดเปลี่ยนไปและกระแสกลายเป็น 12 A โดยสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยน จงหาความเร็วใหม่ n₂

V = 110 VR_a = 0.8 Ωn₁ = 1200 rpmI_a1 = 8 AI_a2 = 12 A

n₂ = rpm

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 53.78 kW

กำลังปรากฏ

S = √3·V_L·I_L = √3·690·50 = 59.76 kVA

กำลังจริง

P = S·cos φ = 59.76·0.9 = 53.78 kW

คำตอบ

P = 53.78 kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 1362 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 300·tan(acos 0.75) = 300·0.8819 = 264.6 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 203.7 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 67886/(314.2·398.4²) = 1362 µF

คำตอบ

C_ph = 1362 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I_HV = 20.83 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

กระแสพิกัด

ขดลวดทั้งสองมีกำลังปรากฏเท่ากัน

I_HV = S/V = 50000/2400 = 20.83 A

คำตอบ

I_HV = 20.83 A

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_cu,fl = 929.1 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

กำลังขาออกและขาเข้า

P_out = 250·0.8 = 200 kW

P_in = 200000/0.988 = 202429 W

การสูญเสียรวมและการสูญเสียในทองแดง

P_loss = 202429 − 200000 = 2429 W

P_cu,fl = 2429 − 1500 = 929.1 W

คำตอบ

P_cu,fl = 929.1 W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 130.3 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 4·tan(arccos 0.7) = 4.081 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

ผลรวม

P = 4 + 27 = 31 kW

Q = 4.081 + 0 = 4.081 kvar

S = √(31² + 4.081²) = 31.27 kVA

กระแสรวม

I = S/V = 31267/240 = 130.3 A

คำตอบ

I = 130.3 A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: ΔP = 93.16 kW

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

Q₁ = 94·tan(arccos 0.8) = 70.5 kvar

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

ที่พิกัดเต็ม S = S_max และ Q ไม่เปลี่ยนจากโหลดตัวต้านทาน

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 70.5²) = 187.2 kW

กำลังจริงที่เพิ่มได้

ΔP = 187.2 − 94 = 93.16 kW

คำตอบ

ΔP = 93.16 kW

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 8.673 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 56.55 Ω, X_C = 120.6 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(15² + (−64.02)²) = 65.76 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 50/65.76 = 0.7604 A

P = I²·R = 0.7604²·15 = 8.673 W

คำตอบ

P = 8.673 W

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 6.15 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·4.7·10⁻⁶) = 4613 rad/s

I = V/R = 2/15 = 0.1333 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 4613·0.01 = 46.13 Ω

V_L = I·X_L = 0.1333·46.13 = 6.15 V

คำตอบ

V_L = 6.15 V

นี่คือ Q = 3.075 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: T = 105 N·m

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

อัตราเร็วใน rad/s

ω = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

แรงบิด

T = P/ω = 11000/104.7 = 105 N·m

คำตอบ

T = 105 N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n₂ = 1163 rpm

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านก่อนและหลัง

E₁ = 110 − 8·0.8 = 103.6 V

E₂ = 110 − 12·0.8 = 100.4 V

ความเร็วใหม่

n₂ = 1200·100.4/103.6 = 1163 rpm

คำตอบ

n₂ = 1163 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems