ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
การต่อแบบ Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
กำลังจริงรวม
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว
Δ: VL Y: VL/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์
Pin = Pout/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ
a = N1/N2 = V1/V2
อัตราส่วนกระแส
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
กระแสพิกัด
I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง
Z1′ = a²·ZL
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน
Pcu = x²·Pcu,fl
ประสิทธิภาพ
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด
x = √(Pcore/Pcu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง
P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ
Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ
S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง
pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์
V = E + IaRa
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด
E = k·ω, T = k·Ia
อัตราเร็ว
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
กำลัง
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
การเริ่มเดิน
Istart = V/(Ra + Rst)
การควบคุมความเร็ว
SR = (n0 − nFL)/nFL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด
Pmax = V²/(4Ra)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์
Va = D·Vdc

วิธีการ

  1. วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน Ra และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
  2. ใช้ V = E + Ia·Ra เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
  3. ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·Ia สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
  4. สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·Ia ลบการสูญเสียในทองแดง Ia²·Ra แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง
ABCVL​ = 400 VZ = 12 + j9 Ωต่อเฟส

โหลดต่อแบบ Δ สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 12 + j9 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 400 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

VL = 400 VZ = 12 + j9 Ω ต่อเฟส
P = kW
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 100 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.75 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.9 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ Cph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 100 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง
75 ΩN1​N2​7500 Ω

เครื่องขยายเสียงที่มีความต้านทานขาออก 7500 Ω ขับลำโพง 75 Ω ผ่านหม้อแปลงอุดมคติ เพื่อให้ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ลำโพงต้องดูเหมือน 7500 Ω จากเครื่องขยาย หาอัตราส่วนจำนวนรอบ a = N₁/N₂

Rs = 7500 ΩRL = 75 Ω
a =
4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก
pf 0.9100 kVA, 50% โหลด

หม้อแปลงเฟสเดียว 100 kVA มีการสูญเสียในแกน 500 W และการสูญเสียในทองแดง 1250 W ที่โหลดพิกัด จ่ายโหลด 50% ของ kVA พิกัด ที่ตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง หาการสูญเสียรวม Ploss เป็นวัตต์ที่โหลดนี้

S = 100 kVAPcore = 500 WPcu,fl = 1250 Wx = 0.5pf = 0.9
Ploss = W
5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง
400 V111 kW, 0.7215 kW, 0.95I

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 400 V: โหลด 11 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลัง และ โหลด 15 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.95 แบบนำ จงหาตัวประกอบกำลังรวม cos φ ที่แหล่งจ่ายเห็น

V = 400 VP1 = 11 kW, pf1 = 0.7 ล้าหลังP2 = 15 kW, pf2 = 0.95 แบบนำ
cos φ =
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก
P1​ = 37 kWQ1​S1​φ

หม้อแปลงเฟสเดียว 100 kVA จ่ายให้โหลด 37 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลัง จะเพิ่มกำลังจริง ΔP ได้อีกเท่าใดในรูปโหลดตัวต้านทาน (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) ก่อนที่หม้อแปลงจะถึงพิกัด kVA

Smax = 100 kVAP1 = 37 kWpf1 = 0.7
ΔP = kW
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
12 V1000 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2.2 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 1000 Hz หากระแส rms I

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
I = A
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
5 Vf0​R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 5 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms VL ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 5 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF
VL = V
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง
+−120 VRa​ = 1 ΩIa​ = 4 AM+−EωT

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงดึงกระแส 4 A จากแหล่งจ่าย 120 V ความต้านทานอาร์เมเจอร์ของมันคือ 1 Ω และการสูญเสียจากการหมุน (แรงเสียดทาน ลม และเหล็ก) คือ 28 W จงหาประสิทธิภาพ η

V = 120 VIa = 4 ARa = 1 ΩProt = 28 W
η = %
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก
+−120 VRa​ = 4 ΩM+−EωT

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงขนาดเล็กมีความต้านทานอาร์เมเจอร์ 4 Ω และทำงานจาก 120 V ถ้าไม่คิดการสูญเสียจากการหมุน จงหากำลังกลสูงสุด Pmax ที่มันพัฒนาได้ที่ความเร็วใด ๆ

V = 120 VRa = 4 Ω
Pmax = W

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 25.6 kW

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ

แรงดันเฟส

Vph = VL = 400 V

กระแสเฟส

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 400/15 = 26.67 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·Iph²·R = 3·26.67²·12 = 25.6 kW

คำตอบ

P = 25.6 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.8 และ √3·VL·IL·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: Cph = 221.5 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ QC = P·(tan φ1 − tan φ2) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ QC/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: VL ในชุดแบบ Δ, VL/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q1 = 100·tan(acos 0.75) = 100·0.8819 = 88.19 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.9) = 100·0.4843 = 48.43 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

QC = Q1 − Q2 = 39.76 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 13253/(377·398.4²) = 221.5 µF

คำตอบ

Cph = 221.5 µF
3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: a = 10

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

จับคู่โหลดที่อ้างอิงแล้ว

a²·75 = 7500
a = √(7500/75) = √100 = 10

คำตอบ

a = 10
4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: Ploss = 812.5 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·Pcu,fl ประสิทธิภาพ η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu) โดย Pout = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·1250 = 312.5 W

การสูญเสียรวม

การสูญเสียในแกนเท่ากันทุกโหลด

Ploss = 500 + 312.5 = 812.5 W

คำตอบ

Ploss = 812.5 W

ประสิทธิภาพที่โหลดนี้คือ η = 98.23%

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: cos φ = 0.9719

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q1 = 11·tan(arccos 0.7) = 11.22 kvar
Q2 = −15·tan(arccos 0.95) = −4.93 kvar

ผลรวม

P = 11 + 15 = 26 kW
Q = 11.22 + (−4.93) = 6.292 kvar
S = √(26² + 6.292²) = 26.75 kVA

ตัวประกอบกำลังรวม

cos φ = P/S = 26/26.75 = 0.9719 ล้าหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.9719
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: ΔP = 55.6 kW

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

Q1 = 37·tan(arccos 0.7) = 37.75 kvar

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

ที่พิกัดเต็ม S = Smax และ Q ไม่เปลี่ยนจากโหลดตัวต้านทาน

P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 37.75²) = 92.6 kW

กำลังจริงที่เพิ่มได้

ΔP = 92.6 − 37 = 55.6 kW

คำตอบ

ΔP = 55.6 kW
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 0.04586 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (241.8)²) = 261.7 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 12/261.7 = 0.04586 A

คำตอบ

I = 0.04586 A
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VL = 223.6 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.1·10⁻⁶) = 44721 rad/s
I = V/R = 5/5 = 1 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

XL = ω₀L = 44721·0.005 = 223.6 Ω
VL = I·XL = 1·223.6 = 223.6 V

คำตอบ

VL = 223.6 V

นี่คือ Q = 44.72 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: η = 90.83 %

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กำลัง

Pin = 120·4 = 480 W
Pdev = 116·4 = 464 W
Pout = 464 − 28 = 436 W

ประสิทธิภาพ

η = 436/480·100 = 90.83 %

คำตอบ

η = 90.83 %
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: Pmax = 900 W

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กำลังในรูปฟังก์ชันของแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

กำลังสูงสุด

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·4) = 900 W

คำตอบ

Pmax = 900 W

ที่จุดนี้ประสิทธิภาพเพียง 50 % มอเตอร์จริงจึงทำงานที่ความเร็วสูงกว่าครึ่งหนึ่งมาก

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems