ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Δ สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 24 + j18 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 400 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 400 VZ = 24 + j18 Ω ต่อเฟส

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 300 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.78 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 300 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.95V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

ต่อตัวต้านทาน 4 Ω คร่อมขดลวดทุติยภูมิของหม้อแปลงอุดมคติที่มีอัตราส่วนจำนวนรอบ N₁:N₂ = 8:1 หาความต้านทาน R_1′ ที่มองเข้าไปจากขดลวดปฐมภูมิ

N₁:N₂ = 8:1R_L = 4 Ω

R_1′ = Ω

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA มีการสูญเสียในแกน 400 W ที่โหลดพิกัดและตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง ประสิทธิภาพคือ 96.5% หาการสูญเสียในทองแดงที่โหลดเต็ม P_cu,fl เป็นวัตต์

S = 50 kVAP_core = 400 Wpf = 0.9η = 96.5%

P_cu,fl = W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 3 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V หากระแสในสาย I

P = 3 kWpf = 0.9V = 400 V

I = A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 50 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.6 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V 60 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.98 หากระแสในสายใหม่ I_new

P = 50 kWpf₁ = 0.6pf₂ = 0.98V = 400 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 50 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 10 µF

cos φ =

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 1 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_L = V

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงดึงกระแส 6 A จากแหล่งจ่าย 110 V ความต้านทานอาร์เมเจอร์ของมันคือ 0.8 Ω และการสูญเสียจากการหมุน (แรงเสียดทาน ลม และเหล็ก) คือ 25 W จงหาประสิทธิภาพ η

V = 110 VI_a = 6 AR_a = 0.8 ΩP_rot = 25 W

η = %

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงกระตุ้นแยก (k = 0.12 V·s/rad ที่สนามเต็ม, R_a = 0.2 Ω, V = 48 V) ขับโหลดแรงบิดคงที่ 1.2 N·m ฟลักซ์สนามถูกลดเหลือ 75 % ของค่าเต็ม จงหาความเร็วใหม่ n

V = 48 Vk = 0.12 V·s/radR_a = 0.2 ΩT = 1.2 N·mΦ = 75 %

n = rpm

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 12.8 kW

แรงดันเฟส

V_ph = V_L = 400 V

กระแสเฟส

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 400/30 = 13.33 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·13.33²·24 = 12.8 kW

คำตอบ

P = 12.8 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.8 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 949.9 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 300·tan(acos 0.78) = 300·0.8023 = 240.7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 142.1 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 47360/(314.2·398.4²) = 949.9 µF

คำตอบ

C_ph = 949.9 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: R_1′ = 256 Ω

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

ความต้านทานที่อ้างอิง

แรงดันเพิ่มขึ้น a เท่าและกระแสลดลง a เท่า อัตราส่วน V/I จึงเพิ่มขึ้น a² เท่า

R_1′ = a²·R_L = 8²·4 = 256 Ω

คำตอบ

R_1′ = 256 Ω

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_cu,fl = 1232 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

กำลังขาออกและขาเข้า

P_out = 50·0.9 = 45 kW

P_in = 45000/0.965 = 46632 W

การสูญเสียรวมและการสูญเสียในทองแดง

P_loss = 46632 − 45000 = 1632 W

P_cu,fl = 1632 − 400 = 1232 W

คำตอบ

P_cu,fl = 1232 W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 8.333 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กระแสในสาย

มีเพียงส่วนจริงของกำลังเท่านั้นที่ทำงาน จึงหารด้วยตัวประกอบกำลัง

I = P/(V·cos φ) = 3000/(400·0.9) = 8.333 A

คำตอบ

I = 8.333 A

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I_new = 127.6 A

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(53.13°) = 66.67 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(11.48°) = 10.15 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 56.51 kvar

กระแสในสายใหม่

I_new = P/(V·cos φ₂) = 50000/(400·0.98) = 127.6 A

คำตอบ

I_new = 127.6 A

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.1888

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 6.283 Ω, X_C = 318.3 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(60² + (−312)²) = 317.7 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 60/317.7 = 0.1888

วงจรเป็นเชิงความจุ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบนำ

คำตอบ

cos φ = 0.1888

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 2.236 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·10·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 1/20 = 0.05 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 2236·0.02 = 44.72 Ω

V_L = I·X_L = 0.05·44.72 = 2.236 V

คำตอบ

V_L = 2.236 V

นี่คือ Q = 2.236 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: η = 91.85 %

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กำลัง

P_in = 110·6 = 660 W

P_dev = 105.2·6 = 631.2 W

P_out = 631.2 − 25 = 606.2 W

ประสิทธิภาพ

η = 606.2/660·100 = 91.85 %

คำตอบ

η = 91.85 %

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n = 4810 rpm

ค่าคงที่มอเตอร์เมื่อสนามอ่อนลง

k₂ = 0.75·0.12 = 0.09 V·s/rad

กระแสอาร์เมเจอร์ใหม่

I_a = 1.2/0.09 = 13.33 A

ความเร็วใหม่

ω = (48 − 13.33·0.2)/0.09 = 503.7 rad/s → n = 4810 rpm

คำตอบ

n = 4810 rpm

การทำให้สนามอ่อนลงคือวิธีที่ไดรฟ์ไฟฟ้ากระแสตรงทำงานเหนือความเร็วฐาน

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems