ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

ในการแจกแจงปกติที่สมบูรณ์:

  1. Aฐานนิยมเป็นคะแนนต่ำสุด
  2. Bคะแนนส่วนใหญ่อยู่ที่ปลายหาง
  3. Cค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมเท่ากัน
  4. Dค่าเฉลี่ยมากกว่ามัธยฐานเสมอ
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

การทดสอบไม่อิงพารามิเตอร์ใดเปรียบเทียบกลุ่มตัวอย่างที่สัมพันธ์กันสองกลุ่ม เช่น คะแนนก่อนและหลังบนมาตราเรียงลำดับ?

  1. Aการทดสอบ t แบบอิสระ
  2. Bการทดสอบไคสแควร์ของความเป็นอิสระ
  3. Cการทดสอบ Wilcoxon signed-rank
  4. Dการทดสอบ Mann–Whitney U
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
202530354045505560

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 17, 17, 29, 60, 56, 47, 27

n = 7
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 158 คือเท่าใด

μ = 170σ = 8x = 158
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
xp(x)100.15200.25300.35400.25μ = 27

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.25, 0.35, 0.25
σ =
6.ความน่าจะเป็นยาก
n = 8, p = 0.3: P(X ≤ 1) = ?k012345678

ทดสอบชิ้นส่วน 8 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.3 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 8p = 0.3
P =
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
2644P = ?

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 26 และ 44 min เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 32σ = 6x1 = 26x2 = 44
P =
8.การแจกแจงปกติยาก
μ = 178x = ?97.5%

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 97.5% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5)

μ = 178σ = 7P = 97.5%
x = cm
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
n = 30, s = 7.5L = ?Ux̄ = 117E95%

ตัวอย่าง 30 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 117 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 7.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 30x̄ = 117s = 7.595%t(29) = 2.045
ขีดจำกัดล่าง =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
σ = 34, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 34 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2

σ = 34E = 295%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
t −2.0302.03

ตัวอย่างนักเรียน 36 คนมีคะแนนเฉลี่ย 498.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 4 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 500

μ₀ = 500x̄ = 498.5s = 4n = 36
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
z −1.9601.96

ตัวอย่างการวัด 16 ค่ามีค่าเฉลี่ย 500.9 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 4 หาขีดจำกัดบน U ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 500.9σ = 4n = 1695%
U =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy243462671886109712109xy51050100

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6
r² =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy125223323416515xy24152025ŷ = 24

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 24 ที่ค่า x ใด

n = 5ŷ = 24
x =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
อาการดีขึ้นอาการไม่ดีขึ้นรวมยาตัวใหม่231740ยาหลอก4971120รวม7288160

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง

N = 1602 × 2
χ² =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ใช่ไม่ใช่รวมสายการผลิต 1231740สายการผลิต 2342660สายการผลิต 38317100รวม14060200dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

ตารางแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงทดสอบที่ α = 0.01 ว่าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (ไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง) จงคำนวณค่าสถิติทดสอบ χ² แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตจากตาราง

N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: C · ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมเท่ากัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแจกแจงปกติสมมาตรและเป็นรูประฆัง ค่าแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์กลางทั้งสามจึงอยู่ที่ศูนย์กลาง

คำตอบ

C · ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมเท่ากัน
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: C · การทดสอบ Wilcoxon signed-rank

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การทดสอบ Wilcoxon signed-rank ใช้กับข้อมูลเรียงลำดับที่จับคู่กัน ส่วน Mann–Whitney U เป็นคู่เทียบสำหรับกลุ่มอิสระ

คำตอบ

C · การทดสอบ Wilcoxon signed-rank
3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 18.02

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 253/7 = 36.14

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−19.14)² + (−19.14)² + (−7.143)² + 23.86² + 19.86² + 10.86² + (−9.143)² = 1949

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1949/6) = 18.02

คำตอบ

s = 18.02
4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.06681

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

คำตอบ

P = 0.06681
5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 10.05

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 10·0.15 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.25 = 27

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.25 = 830

ความแปรปรวน

Var(X) = 830 − 27² = 101
σ = √101 = 10.05

คำตอบ

σ = 10.05
6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.2553

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.78 = 0.05765
P(X = 1) = 8·0.3·0.77 = 0.1977

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.05765 + 0.1977 = 0.2553

คำตอบ

P = 0.2553
7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.8186

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (26 − 32)/6 = −1
z₂ = (44 − 32)/6 = 2

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(2) − Φ(−1) = 0.9772 − 0.1587 = 0.8186

คำตอบ

P = 0.8186
8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 191.7 cm

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

กลับไปเป็น x

x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm

คำตอบ

x = 191.72 cm
9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 114.2

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 29, t = 2.045

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.045·7.5/√30 = 2.8

ช่วง

117 ± 2.8 → [114.2, 119.8]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = 114.2
10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 1111

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = (1.96·34/2)² = 1110

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 1111

คำตอบ

n = 1111
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −2.25

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

ตัวสถิติทดสอบ

t = (498.5 − 500)/0.6667 = −2.25

คำตอบ

t = −2.25
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| > 2.03 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: U = 502.9

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.96·4/√16 = 1.96

ขีดจำกัดของช่วง

U = 500.9 + 1.96 = 502.9

คำตอบ

U = 502.9
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9921

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 468/6 = 78

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 450
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2916

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 450²/(70·2916) = 0.9921

คำตอบ

r² = 0.9921

ประมาณ 99.21% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 1.667

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20.4

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

เส้นถดถอย

b = −27/10 = −2.7
a = 20.4 − (−2.7)·3 = 28.5
ŷ = 28.5 − 2.7·x

แก้หา x

x = (24 − 28.5)/(−2.7) = 1.667

คำตอบ

x = 1.667
15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 3.367

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

ยาตัวใหม่: 40·72/160 = 18, 40·88/160 = 22
ยาหลอก: 120·72/160 = 54, 120·88/160 = 66

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (23 − 18)²/18 + (17 − 22)²/22 + (49 − 54)²/54 + (71 − 66)²/66
χ² = 3.367

คำตอบ

χ² = 3.367

df = 1 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 3.841 ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)

16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 16.1

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

สายการผลิต 1: 28, 12
สายการผลิต 2: 42, 18
สายการผลิต 3: 70, 30

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (23 − 28)²/28 + (17 − 12)²/12 + (34 − 42)²/42 + (26 − 18)²/18 + (83 − 70)²/70 + (17 − 30)²/30
χ² = 16.1

การตัดสินใจ

df = 2, χ²crit = 9.210
16.1 > 9.210

คำตอบ

χ² = 16.1

χ² มากกว่าค่าวิกฤต จึงปฏิเสธ H₀: ตัวแปรทั้งสองดูเหมือนมีความสัมพันธ์กัน

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology