ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

ช่วงความเชื่อมั่น 95% ของค่าเฉลี่ย 50 คือ 46 ถึง 54 การตีความใดถูกต้องที่สุด?

  1. Aผู้เข้าร่วม 95% ในกลุ่มตัวอย่างได้คะแนนในการวัดระหว่าง 46 ถึง 54
  2. Bผลไม่มีนัยสำคัญ
  3. Cมีโอกาส 95% ที่ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเป็น 50
  4. Dขั้นตอนที่ใช้สร้างช่วงที่ครอบคลุมค่าเฉลี่ยที่แท้จริงใน 95% ของเวลา
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

ผู้วิจัยเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของสามกลุ่มขึ้นไป เหตุใดจึงใช้ ANOVA ทางเดียวแทนการทดสอบ t หลายครั้ง?

  1. Aการทดสอบ t จัดการกับตัวเลขที่เกิน 100 ไม่ได้
  2. Bการทดสอบ t หลายครั้งทำให้อัตราความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 โดยรวมสูงขึ้น
  3. CANOVA พบผลที่ใหญ่กว่าชุดการทดสอบ t ที่เทียบเท่ากันเสมอ
  4. Dการทดสอบ t ต้องใช้ข้อมูลเชิงคุณภาพ
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
101520253035404550

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 11, 31, 40, 10, 50, 23

n = 6
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 162.5 คือเท่าใด

μ = 170σ = 15x = 162.5
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
xp(x)10.2520.3530.140.3μ = 2.45

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3
Var(X) =
6.ความน่าจะเป็นยาก
n = 11, p = 0.7: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

ทดสอบชิ้นส่วน 11 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.7 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 11p = 0.7
P =
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
53.570P = ?

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 53.5 และ 70 คะแนน เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 65σ = 10x1 = 53.5x2 = 70
P =
8.การแจกแจงปกติยาก
μ = 65x = ?99%

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 99% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 99)

μ = 65σ = 10P = 99%
x = คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
n = 20, sd​ = 4.10LUd̄ = −5.9E = ?99%

วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 20 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย −5.9 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4.1 จงหาค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับผลต่างเฉลี่ย

n = 20d̄ = −5.9sd = 4.199%t(19) = 2.861
E = mmHg
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 29 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 5

σ = 29E = 590%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
−2.2282.228t = ?df = 10

เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 5 คน คะแนนเฉลี่ย 88 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 7 คน คะแนนเฉลี่ย 80.1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6.5 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)

n₁ = 5x̄₁ = 88s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 80.1s₂ = 6.5
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
μ₀x̄c

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 100 เทียบกับ H₁: μ < 100 ทำที่ α = 0.05 ด้วยตัวอย่าง 64 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 8 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 98.7 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 100μ = 98.7σ = 8n = 64α = 0.05
1 − β = %
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy123220318413515611xy2461520

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 6
r =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy133331544749954xy5304050x = 2

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 2

n = 5x = 2
ŷ =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ต่ำปานกลางสูงรวมเขตเมือง40451196ชนบท39262186รวม797132182

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์ จงหาความถี่ที่คาดหวัง E ของช่อง “เขตเมือง, สูง”

ผลรวมแถว = 96ผลรวมหลัก = 32N = 182
E =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก

ทำการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์กับตารางการณ์จรที่มี 2 แถวและ 4 หลัก (ไม่นับแถวและหลักรวม) การทดสอบนี้มีองศาเสรี df เท่าใด

2 × 4
df =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: D · ขั้นตอนที่ใช้สร้างช่วงที่ครอบคลุมค่าเฉลี่ยที่แท้จริงใน 95% ของเวลา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

CI 95% ให้ช่วงของค่าที่เป็นไปได้สำหรับพารามิเตอร์ของประชากร ช่วงที่แคบกว่าจากกลุ่มตัวอย่างที่ใหญ่กว่าหมายถึงการประมาณที่แม่นยำกว่า

คำตอบ

D · ขั้นตอนที่ใช้สร้างช่วงที่ครอบคลุมค่าเฉลี่ยที่แท้จริงใน 95% ของเวลา
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: B · การทดสอบ t หลายครั้งทำให้อัตราความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 โดยรวมสูงขึ้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การทดสอบรายคู่หลายครั้งเพิ่มโอกาสของผลบวกลวง ANOVA ทดสอบทุกกลุ่มพร้อมกัน แล้วตามด้วยการทดสอบภายหลัง (post hoc) ที่มีการปรับแก้

คำตอบ

B · การทดสอบ t หลายครั้งทำให้อัตราความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 โดยรวมสูงขึ้น
3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.96

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 165/6 = 27.5

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−16.5)² + 3.5² + 12.5² + (−17.5)² + 22.5² + (−4.5)² = 1274

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1274/5) = 15.96

คำตอบ

s = 15.96
4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.6915

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −0.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915

คำตอบ

P = 0.6915
5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.347

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.1 + 4·0.3 = 2.45

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.1 + 16·0.3 = 7.35

ความแปรปรวน

Var(X) = 7.35 − 2.45² = 1.347

คำตอบ

Var(X) = 1.347
6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 4.724 × 10⁻⁵

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.311 = 1.771 × 10⁻⁶
P(X = 1) = 11·0.7·0.310 = 4.547 × 10⁻⁵

บวกเข้าด้วยกัน

P = 1.771 × 10⁻⁶ + 4.547 × 10⁻⁵ = 4.724 × 10⁻⁵

คำตอบ

P = 4.724 × 10⁻⁵
7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.5664

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (53.5 − 65)/10 = −1.15
z₂ = (70 − 65)/10 = 0.5

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(0.5) − Φ(−1.15) = 0.6915 − 0.1251 = 0.5664

คำตอบ

P = 0.5664
8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 88.26 คะแนน

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

กลับไปเป็น x

x = 65 + 2.326·10 = 88.26 คะแนน

คำตอบ

x = 88.26 คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 2.623 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าวิกฤต

df = 19, t = 2.861

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.861·4.1/√20 = 2.623

คำตอบ

E = 2.623 mmHg
10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 92

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = (1.645·29/5)² = 91.03

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 92

คำตอบ

n = 92
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 2.508

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความแปรปรวนรวม

sp² = (4·3² + 6·6.5²)/10 = 28.95
sp = 5.381

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 5.381·√(1/5 + 1/7) = 3.151

ตัวสถิติทดสอบ

t = (88 − 80.1)/3.151 = 2.508

คำตอบ

t = 2.508

เมื่อ df = 10 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.228 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: 1 − β = 36.5 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 − 1.645·1 = 98.36

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (98.36 − 98.7)/1 = −0.345

กำลัง

กำลังของการทดสอบ = P(Z < −0.345) = 36.5%
1 − β = 36.5%

คำตอบ

1 − β = 36.5%
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = −0.9499

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 100/6 = 16.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40
Syy = Σ(y − ȳ)² = 101.3

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = −40/√(17.5·101.3) = −0.9499

คำตอบ

r = −0.9499
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 33.2

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 211/5 = 42.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

เส้นถดถอย

b = 120/40 = 3
a = 42.2 − 3·5 = 27.2
ŷ = 27.2 + 3·x

การทำนาย

ŷ = 27.2 + 3·2 = 33.2

คำตอบ

ŷ = 33.2
15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: E = 16.88

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

E = 96·32/182 = 16.88

คำตอบ

E = 16.88
16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: df = 3

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

องศาเสรี

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

คำตอบ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology