สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
การทดสอบไคสแควร์
- ตัวสถิติทดสอบ
- χ² = Σ(O − E)²/E
- ความเหมาะสมของแบบจำลอง
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- ความเป็นอิสระ
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- ค่าวิกฤต (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- การตัดสินใจ
- ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit
2โจทย์ฝึก
1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง
การศึกษาแบบตัดขวางเปรียบเทียบผู้มีอายุ 20, 40 และ 60 ปีในการใช้เทคโนโลยี ณ เวลาเดียวกัน ปัญหาใดอาจรบกวนการเปรียบเทียบอายุ?
- Aผลของการฝึกฝน
- Bผลของรุ่น (cohort effects)
- Cผลของลำดับ
- Dผลเพดานต่ำ (floor effects)
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก
เหตุใดนักวิจัยจำนวนมากจึงเสนอว่าควรรายงานค่า p ร่วมกับขนาดของผลและช่วงความเชื่อมั่น?
- Aค่า p ไม่ได้แสดงว่าผลใหญ่หรือแม่นยำเพียงใด
- Bค่า p แสดงความน่าจะเป็นที่สมมติฐานเป็นจริง
- Cช่วงความเชื่อมั่นจำเป็นเฉพาะในการวิจัยเชิงคุณภาพ
- Dขนาดของผลทำให้ขนาดตัวอย่างไม่เกี่ยวข้องกับนัยสำคัญ
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 48, 10, 44, 22, 52, 58
n = 6
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 73
μ = 70σ = 5x = 73
z =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.15, 0.35, 0.35
σ =
6.ความน่าจะเป็นยาก
ข้อสอบมีคำถามปรนัย 7 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.2 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 2 ข้อคือเท่าใด
n = 7p = 0.2k = 2
P =
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.9780 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง
A = 0.9780
z =
8.การแจกแจงปกติยาก
เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.04 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
รู: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 50 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 5.1 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ ของช่วง 90% จากข้อมูลเดียวกันเป็นเท่าใด
99%n₁ = 50E₁ = 5.190%
E₂ =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 7 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 27.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 9 แปลง ค่าเฉลี่ย 38.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4.5 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂
n₁ = 7x̄₁ = 27.5s₁ = 2n₂ = 9x̄₂ = 38.5s₂ = 4.590%t(14) = 1.761
ขีดจำกัดบน = kg
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
สายการผลิตสองสายผลิตชิ้นส่วนเดียวกัน สายที่ 1: ตัวอย่าง 50 ชิ้นมีความยาวเฉลี่ย 148.5 mm และทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของสายคือ 17 mm สายที่ 2: ตัวอย่าง 80 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 154.7 mm ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 mm จงหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (สายที่ 1 ลบสายที่ 2)
n₁ = 50x̄₁ = 148.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 80x̄₂ = 154.7 mmσ₂ = 5 mm
z =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 80 เทียบกับ H₁: μ < 80 ทำที่ α = 0.05 ด้วยตัวอย่าง 100 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 20 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 76.4 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์
μ₀ = 80μ = 76.4σ = 20n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r
n = 5
r =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (3, 59) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ
n = 5(3, 59)
e =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง
N = 1802 × 3
χ² =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
การทดสอบภาวะสารูปสนิทดีด้วยไคสแควร์ตรวจสอบว่าความถี่ใน 8 กลุ่มเป็นไปตามการแจกแจงปัวซองซึ่งค่าเฉลี่ยประมาณจากข้อมูลชุดเดียวกันหรือไม่ การทดสอบนี้มีองศาเสรี df เท่าใด
k = 8
df =
3สารละลาย
1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา
คำตอบ: B · ผลของรุ่น (cohort effects)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
กลุ่มอายุต่างกันเติบโตในสภาพประวัติศาสตร์ต่างกัน ความแตกต่างจึงอาจสะท้อนรุ่น (cohort) มากกว่าการสูงวัยเอง
คำตอบ
B · ผลของรุ่น (cohort effects)
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา
คำตอบ: A · ค่า p ไม่ได้แสดงว่าผลใหญ่หรือแม่นยำเพียงใด
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ค่า p ขึ้นกับขนาดตัวอย่างมากและบ่งชี้เพียงว่าข้อมูลน่าประหลาดใจเพียงใดภายใต้สมมติฐานว่าง ขนาดของผลแสดงขนาด และช่วงแสดงความแม่นยำ
คำตอบ
A · ค่า p ไม่ได้แสดงว่าผลใหญ่หรือแม่นยำเพียงใด
3.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 18.79
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 234/6 = 39
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = 9² + (−29)² + 5² + (−17)² + 13² + 19² = 1766
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(1766/5) = 18.79
คำตอบ
s = 18.79
4.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: z = 0.6
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (73 − 70)/5 = 0.6
คำตอบ
z = 0.6
5.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: σ = 2.088
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
ค่าเฉลี่ย
μ = 0·0.15 + 2·0.15 + 4·0.35 + 6·0.35 = 3.8
ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง
E(X²) = 0·0.15 + 4·0.15 + 16·0.35 + 36·0.35 = 18.8
ความแปรปรวน
Var(X) = 18.8 − 3.8² = 4.36
σ = √4.36 = 2.088
คำตอบ
σ = 2.088
6.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.2753
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
สูตรทวินาม
P(X = 2) = 21·0.22·0.85 = 21·0.04·0.3277 = 0.2753
คำตอบ
P = 0.2753
7.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: z = 2.29
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
พื้นที่ทางซ้ายของ z
Φ(z) = (1 + 0.9780)/2 = 0.9890
อ่านตาราง z ย้อนกลับ
หา 0.9890 ในตารางและอ่านค่า z
z = 2.29
คำตอบ
z = 2.29
8.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.9207
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลต่าง
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41
ความน่าจะเป็น
P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207
คำตอบ
P = 0.9207
9.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: E₂ = 3.257
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(50/50) = 0.6386
ค่าคลาดเคลื่อนใหม่
E₂ = 5.1·0.6386 = 3.257
คำตอบ
E₂ = 3.257
10.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = −7.765 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม
sp² = (6·2² + 8·4.5²)/14 = 13.29
sp = 3.645
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.761·3.645·√(1/7 + 1/9) = 3.235
ช่วง
−11 ± 3.235 → [−14.23, −7.765]
คำตอบ
ขีดจำกัดบน = −7.765 kg
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: z = −2.512
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่าง
SE = √(17²/50 + 5²/80) = √6.093 = 2.468
ตัวสถิติทดสอบ
z = (148.5 − 154.7)/2.468 = −2.512
คำตอบ
z = −2.512
|z| > 1.96 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: 1 − β = 56.16 %
กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)
ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต
SE = 20/√100 = 2
x̄c = 80 − 1.645·2 = 76.71
z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง
z = (76.71 − 76.4)/2 = 0.155
กำลัง
กำลังของการทดสอบ = P(Z < 0.155) = 56.16%
1 − β = 56.16%
คำตอบ
1 − β = 56.16%
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.9444
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 342/5 = 68.4
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61
Syy = Σ(y − ȳ)² = 417.2
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 61/√(10·417.2) = 0.9444
คำตอบ
r = 0.9444
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: e = 5.35
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 350/5 = 70
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218
เส้นถดถอย
b = 218/40 = 5.45
a = 70 − 5.45·6 = 37.3
ŷ = 37.3 + 5.45·x
ค่าทำนาย
ŷ = 37.3 + 5.45·3 = 53.65
ส่วนตกค้าง
e = 59 − 53.65 = 5.35
คำตอบ
e = 5.35
จุดนี้อยู่เหนือเส้นตรง
15.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: χ² = 10
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ความถี่ที่คาดหวัง
เขตเมือง: 60·36/180 = 12, 60·54/180 = 18, 60·90/180 = 30
ชนบท: 120·36/180 = 24, 120·54/180 = 36, 120·90/180 = 60
ค่าสถิติไคสแควร์
χ² = (8 − 12)²/12 + (12 − 18)²/18 + (40 − 30)²/30 + (28 − 24)²/24 + (42 − 36)²/36 + (50 − 60)²/60
χ² = 10
คำตอบ
χ² = 10
df = 2 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 5.991 ดังนั้น ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)
16.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: df = 6
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
องศาเสรี
df = 8 − 1 − 1 = 6
คำตอบ
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology