ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

ความตรงภายใน (internal validity) หมายถึง:

  1. Aแบบทดสอบให้ผลเดิมเมื่อเวลาผ่านไปหรือไม่
  2. Bผู้เข้าร่วมรู้สึกว่าการศึกษาน่าสนใจหรือไม่
  3. Cผลที่สังเกตเกิดจาก IV จริงมากกว่าปัจจัยอื่นหรือไม่
  4. Dผลการวิจัยนำไปใช้ได้ทั่วไปกับประชากร สถานการณ์ และเวลาอื่นนอกการศึกษาหรือไม่
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

การศึกษาพบว่านักเรียนที่นอนมากกว่ามีเกรดสูงกว่า การเปลี่ยนการออกแบบใดจะช่วยให้สรุปเชิงเหตุผลได้ดีที่สุด?

  1. Aขอให้นักเรียนรายงานการนอนสองครั้งแล้วหาค่าเฉลี่ยของสองรายงาน
  2. Bวัดเกรดให้แม่นยำขึ้น
  3. Cสำรวจนักเรียนมากขึ้น
  4. Dสุ่มจัดนักเรียนเข้ากับตารางการนอนที่ต่างกัน
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
10152025303540455055

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 52, 10, 40, 18, 30, 55

n = 6
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 122.5 คือเท่าใด

μ = 100σ = 15x = 122.5
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
xp(x)00.310.0520.3530.2540.05μ = 1.7

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.35, 0.25, 0.05
σ =
6.ความน่าจะเป็นยาก
n = 12, p = 0.7: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

ทดสอบชิ้นส่วน 12 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.7 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 12p = 0.7
P =
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
78.25112P = ?

คะแนน IQมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 78.25 และ 112 คะแนน เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 100σ = 15x1 = 78.25x2 = 112
P =
8.การแจกแจงปกติยาก
μ = 100x = ?20%

คะแนน IQมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 20% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20)

μ = 100σ = 15P = 20%
x = คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
n = 20, s = 7LUx̄ = 81E = ?90%

ตัวอย่าง 20 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 81 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 7 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 20x̄ = 81s = 790%t(19) = 1.729
E =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.595%

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 11 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1.5

σ = 11E = 1.595%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
t −2.06402.064

ตัวอย่างนักเรียน 25 คนมีคะแนนเฉลี่ย 52.32 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 4 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 50

μ₀ = 50x̄ = 52.32s = 4n = 25
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.05βσ = 16, กำลังของการทดสอบ 80%, n = ?

การทดสอบ z ด้านเดียวที่ α = 0.05 ต้องตรวจจับการเลื่อนของค่าเฉลี่ย 5 หน่วยด้วยกำลังของการทดสอบ 80% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 16 จงหาขนาดตัวอย่างต่ำสุด n

α = 0.05กำลังของการทดสอบ = 80%δ = 5σ = 16zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy145117662071237626862999xy152025306080100

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 6
r =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy1455177220752310026114xy1520256080100120x = 18.5

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 18.5

n = 5x = 18.5
ŷ =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ไม่มีตำหนิเล็กน้อยรุนแรงรวมกะกลางวัน13151240กะกลางคืน12202860รวม253540100

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง

N = 1002 × 3
χ² =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ใช่ไม่ใช่รวมอายุ 18–30134760อายุ 31–50164460อายุ 51+314980รวม60140200dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

ตารางแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงทดสอบที่ α = 0.01 ว่าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (ไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง) จงคำนวณค่าสถิติทดสอบ χ² แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตจากตาราง

N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: C · ผลที่สังเกตเกิดจาก IV จริงมากกว่าปัจจัยอื่นหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ความตรงภายในสูงหมายความว่าคำอธิบายทางเลือก เช่น ตัวแปรสับสน ลักษณะเรียกร้อง หรืออคติของผู้ทดลอง ถูกตัดออกแล้ว ความตรงภายนอกเกี่ยวกับการสรุปไปยังกลุ่มอื่น

คำตอบ

C · ผลที่สังเกตเกิดจาก IV จริงมากกว่าปัจจัยอื่นหรือไม่
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: D · สุ่มจัดนักเรียนเข้ากับตารางการนอนที่ต่างกัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

มีเพียงการจัดกระทำการนอนด้วยการจัดสรรแบบสุ่มเท่านั้นที่ควบคุมตัวแปรที่สามและอนุญาตให้อนุมานเชิงเหตุผลได้ ภายในข้อจำกัดทางจริยธรรม

คำตอบ

D · สุ่มจัดนักเรียนเข้ากับตารางการนอนที่ต่างกัน
3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 18.16

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 205/6 = 34.17

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 17.83² + (−24.17)² + 5.833² + (−16.17)² + (−4.167)² + 20.83² = 1649

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1649/5) = 18.16

คำตอบ

s = 18.16
4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.9332

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 1.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332

คำตอบ

P = 0.9332
5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 1.269

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.3 + 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.05 = 1.7

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.05 = 4.5

ความแปรปรวน

Var(X) = 4.5 − 1.7² = 1.61
σ = √1.61 = 1.269

คำตอบ

σ = 1.269
6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 1.541 × 10⁻⁵

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.312 = 5.314 × 10⁻⁷
P(X = 1) = 12·0.7·0.311 = 1.488 × 10⁻⁵

บวกเข้าด้วยกัน

P = 5.314 × 10⁻⁷ + 1.488 × 10⁻⁵ = 1.541 × 10⁻⁵

คำตอบ

P = 1.541 × 10⁻⁵
7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7146

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (78.25 − 100)/15 = −1.45
z₂ = (112 − 100)/15 = 0.8

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(0.8) − Φ(−1.45) = 0.7881 − 0.07353 = 0.7146

คำตอบ

P = 0.7146
8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 87.38 คะแนน

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

กลับไปเป็น x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 คะแนน

คำตอบ

x = 87.38 คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 2.706

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 19, t = 1.729

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.729·7/√20 = 2.706

คำตอบ

E = 2.706
10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 207

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = (1.96·11/1.5)² = 206.6

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 207

คำตอบ

n = 207
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 2.9

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8

ตัวสถิติทดสอบ

t = (52.32 − 50)/0.8 = 2.9

คำตอบ

t = 2.9
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| > 2.064 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 64

ขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ: เพื่อตรวจจับการเลื่อนจริง δ ด้วยกำลัง 1 − β ในการทดสอบ z ด้านเดียวที่ระดับ α ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานต้องเป็นไปตาม δ = (z_α + z_β)·σ/√n ดังนั้น n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = ((1.645 + 0.842)·16/5)² = 63.34

ปัดขึ้น

n = 64

คำตอบ

n = 64
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9846

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 449/6 = 74.83

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 457.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1371

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 457.5/√(157.5·1371) = 0.9846

คำตอบ

r = 0.9846
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 75.9

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 416/5 = 83.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 438

เส้นถดถอย

b = 438/90 = 4.867
a = 83.2 − 4.867·20 = −14.13
ŷ = −14.13 + 4.867·x

การทำนาย

ŷ = −14.13 + 4.867·18.5 = 75.9

คำตอบ

ŷ = 75.9
15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 3.286

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

กะกลางวัน: 40·25/100 = 10, 40·35/100 = 14, 40·40/100 = 16
กะกลางคืน: 60·25/100 = 15, 60·35/100 = 21, 60·40/100 = 24

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (13 − 10)²/10 + (15 − 14)²/14 + (12 − 16)²/16 + (12 − 15)²/15 + (20 − 21)²/21 + (28 − 24)²/24
χ² = 3.286

คำตอบ

χ² = 3.286

df = 2 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 5.991 ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)

16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 5.218

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

อายุ 18–30: 18, 42
อายุ 31–50: 18, 42
อายุ 51+: 24, 56

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (13 − 18)²/18 + (47 − 42)²/42 + (16 − 18)²/18 + (44 − 42)²/42 + (31 − 24)²/24 + (49 − 56)²/56
χ² = 5.218

การตัดสินใจ

df = 2, χ²crit = 9.210
5.218 < 9.210

คำตอบ

χ² = 5.218

χ² น้อยกว่าค่าวิกฤต จึงไม่ปฏิเสธ H₀: ไม่มีหลักฐานที่มีนัยสำคัญว่ามีความสัมพันธ์กัน

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology