ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ: χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ: ปฏิเสธ H₀ ถ้า χ² > χ²_crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

ค่า p เท่ากับ 0.03 หมายความว่า:

Aผลมีขนาดใหญ่
Bเมื่อพิจารณาข้อมูลที่สังเกตได้ มีความน่าจะเป็นเพียง 3% ที่สมมติฐานว่างเป็นจริง
Cหากสมมติฐานว่างเป็นจริง ข้อมูลสุดโต่งเท่านี้จะเกิดขึ้นประมาณ 3% ของเวลา
Dผลจะทำซ้ำได้ 97% ของเวลา

2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

ผู้วิจัยบันทึกข้อมูลที่เก้าจุดเวลาและทดสอบที่ระดับ 5% ทุกครั้งโดยไม่มีการปรับแก้ ปัญหาคืออะไร?

Aข้อมูลน่าเชื่อถือมากขึ้นทุกครั้ง การทดสอบครั้งสุดท้ายจึงแม่นยำที่สุด
Bวิธีนี้ไม่มีปัญหา
Cโอกาสที่จะมีผลบวกลวงอย่างน้อยหนึ่งครั้งเพิ่มขึ้นเกิน 5% มาก
Dขนาดของผลลดลงในแต่ละการทดสอบ

3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 45, 13, 60, 16, 29, 44

n = 6

s =

4.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 154

μ = 170σ = 8x = 154

z =

5.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.2, 0.3, 0.05, 0.2

Var(X) =

6.ความน่าจะเป็นยาก

ทดสอบชิ้นส่วน 9 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.6 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 9p = 0.6

P =

7.การแจกแจงปกติปานกลาง

คะแนน IQมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 100 และ 115.75 คะแนน เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 100σ = 15x₁ = 100x₂ = 115.75

P =

8.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.04 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 36 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 8.5 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ เป็นเท่าใดถ้าการศึกษาเดียวกันใช้ 324 ค่าแทน

95%n₁ = 36E₁ = 8.5n₂ = 324

E₂ =

10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

เพลาที่กลึง 11 ชิ้นมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 6.1 µm สมมติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมีการแจกแจงปกติ จงหา ขีดจำกัดล่าง σ ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เมื่อ df = 10 การแจกแจง χ² 2.5% อยู่ต่ำกว่า 3.247 และ 2.5% อยู่สูงกว่า 20.483

n = 11s = 6.1 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

สายการผลิตสองสายผลิตชิ้นส่วนเดียวกัน สายที่ 1: ตัวอย่าง 40 ชิ้นมีความยาวเฉลี่ย 108.5 mm และทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของสายคือ 7 mm สายที่ 2: ตัวอย่าง 60 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 112.1 mm ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 mm จงหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (สายที่ 1 ลบสายที่ 2)

n₁ = 40x̄₁ = 108.5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 60x̄₂ = 112.1 mmσ₂ = 7 mm

z =

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 100 ค่ามีค่าเฉลี่ย 96.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 12 หาขีดจำกัดบน U ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 96.5σ = 12n = 10099%

U =

13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6

r² =

14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 5

n = 5x = 5

ŷ =

15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง

N = 1602 × 2

χ² =

16.การทดสอบไคสแควร์ยาก

การทดสอบภาวะสารูปสนิทดีด้วยไคสแควร์ตรวจสอบว่าความถี่ใน 5 กลุ่มเป็นไปตามการแจกแจงปัวซองซึ่งค่าเฉลี่ยประมาณจากข้อมูลชุดเดียวกันหรือไม่ การทดสอบนี้มีองศาเสรี df เท่าใด

k = 5

df =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: C · หากสมมติฐานว่างเป็นจริง ข้อมูลสุดโต่งเท่านี้จะเกิดขึ้นประมาณ 3% ของเวลา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ค่า p คือความน่าจะเป็นของผลที่สุดโต่งอย่างน้อยเท่ากับที่สังเกตได้หากสมมติฐานว่างเป็นจริง ไม่ได้บอกความน่าจะเป็นที่สมมติฐานจะเป็นจริงหรือขนาดของผล

คำตอบ

C · หากสมมติฐานว่างเป็นจริง ข้อมูลสุดโต่งเท่านี้จะเกิดขึ้นประมาณ 3% ของเวลา

2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: C · โอกาสที่จะมีผลบวกลวงอย่างน้อยหนึ่งครั้งเพิ่มขึ้นเกิน 5% มาก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อมีการทดสอบอิสระเก้าครั้ง โอกาสที่จะมีความคลาดเคลื่อนประเภทที่ 1 อย่างน้อยหนึ่งครั้งประมาณ 1 − 0.95⁹ ≈ 37% การปรับแก้ เช่น Bonferroni แก้ปัญหานี้

คำตอบ

C · โอกาสที่จะมีผลบวกลวงอย่างน้อยหนึ่งครั้งเพิ่มขึ้นเกิน 5% มาก

3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 18.36

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 207/6 = 34.5

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 10.5² + (−21.5)² + 25.5² + (−18.5)² + (−5.5)² + 9.5² = 1686

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1686/5) = 18.36

คำตอบ

s = 18.36

4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −2

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (154 − 170)/8 = −2

คำตอบ

z = −2

5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.988

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.05 + 5·0.2 = 2.75

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.05 + 25·0.2 = 9.55

ความแปรปรวน

Var(X) = 9.55 − 2.75² = 1.988

คำตอบ

Var(X) = 1.988

6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.003801

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.4⁹ = 0.0002621

P(X = 1) = 9·0.6·0.4⁸ = 0.003539

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.0002621 + 0.003539 = 0.003801

คำตอบ

P = 0.003801

7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.3531

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (100 − 100)/15 = 0

z₂ = (115.75 − 100)/15 = 1.05

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(1.05) − Φ(0) = 0.8531 − 0.5 = 0.3531

คำตอบ

P = 0.3531

8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9868

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

คำตอบ

P = 0.9868

9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 2.833

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(36/324) = 0.3333

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 8.5·0.3333 = 2.833

คำตอบ

E₂ = 2.833

10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: σ = 4.262 µm

ช่วงสำหรับความแปรปรวน: (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1 ช่วง 95% สำหรับ σ² ไปจาก (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านบน (2.5% อยู่เหนือค่านั้น) ถึง (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านล่าง (2.5% อยู่ต่ำกว่าค่านั้น) ช่วงสำหรับ σ คือรากที่สองของทั้งสองขีดจำกัด และไม่สมมาตรรอบ s

ผลรวมกำลังสอง

(n − 1)s² = 10·6.1² = 372.1

ขีดจำกัดของ σ²

372.1/20.483 = 18.17

372.1/3.247 = 114.6

ขีดจำกัดของ σ

σ = √18.17 = 4.262 µm

คำตอบ

σ = 4.262 µm

ช่วง 95% สำหรับ σ: [4.262, 10.71] µm

11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = −2.519

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่าง

SE = √(7²/40 + 7²/60) = √2.042 = 1.429

ตัวสถิติทดสอบ

z = (108.5 − 112.1)/1.429 = −2.519

คำตอบ

z = −2.519

|z| > 1.96 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: U = 99.59

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·12/√100 = 3.091

ขีดจำกัดของช่วง

U = 96.5 + 3.091 = 99.59

คำตอบ

U = 99.59

13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9384

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 335/6 = 55.83

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 197

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 590.8

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 197²/(70·590.8) = 0.9384

คำตอบ

r² = 0.9384

ประมาณ 93.84% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 8.15

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 46/5 = 9.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

เส้นถดถอย

b = 42/40 = 1.05

a = 9.2 − 1.05·6 = 2.9

ŷ = 2.9 + 1.05·x

การทำนาย

ŷ = 2.9 + 1.05·5 = 8.15

คำตอบ

ŷ = 8.15

15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 7.502

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

ชาย: 100·104/160 = 65, 100·56/160 = 35

หญิง: 60·104/160 = 39, 60·56/160 = 21

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (57 − 65)²/65 + (43 − 35)²/35 + (47 − 39)²/39 + (13 − 21)²/21

χ² = 7.502

คำตอบ

χ² = 7.502

df = 1 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 3.841 ดังนั้น ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)

16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: df = 3

องศาเสรี

df = 5 − 1 − 1 = 3

คำตอบ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology