สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 53, 24, 42, 57, 55, 27

n = 6

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 162 คือเท่าใด

μ = 170σ = 10x = 162

P =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.15, 0.15, 0.3, 0.15

σ =

4.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €2 คุณชนะ €4 ด้วยความน่าจะเป็น 0.15 และ €20 ด้วยความน่าจะเป็น 0.01 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €2€4: p = 0.15€20: p = 0.01

E(G) = €

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.3015 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.3015

z =

6.การแจกแจงปกติยาก

เวลาต่อรอบของนักวิ่ง A คือ X และของนักวิ่ง B คือ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 52 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 48 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 50 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 66.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 11 h รุ่นที่ 2: 50 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 65 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 14 h จงหาค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 50x̄₁ = 66.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 50x̄₂ = 65 hσ₂ = 14 h99%

E = h

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 5 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 77.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.5 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 12 แปลง ค่าเฉลี่ย 80 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 5x̄₁ = 77.5s₁ = 1.5n₂ = 12x̄₂ = 80s₂ = 590%t(15) = 1.753

ขีดจำกัดบน = kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ค่าเฉลี่ยของประชากรถูกอ้างว่าเป็น 120 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็น 12.5 สุ่มตัวอย่าง 25 ค่า ได้ค่าเฉลี่ย 125.4 ทดสอบ H₀: μ = 120 เทียบกับ H₁: μ > 120 จงหาค่า p p

μ₀ = 120σ = 12.5n = 25x̄ = 125.4H₁: μ > μ₀

p =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 81 ค่ามีค่าเฉลี่ย 48.7 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 10 หาขีดจำกัดบน U ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 48.7σ = 10n = 8199%

U =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 5

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 2.5

n = 6x = 2.5

ŷ =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.55

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 258/6 = 43

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 10² + (−19)² + (−1)² + 14² + 12² + (−16)² = 1058

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1058/5) = 14.55

คำตอบ

s = 14.55

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.7881

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −0.8

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 1.431

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.25 + 1·0.15 + 2·0.15 + 3·0.3 + 4·0.15 = 1.95

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.15 + 4·0.15 + 9·0.3 + 16·0.15 = 5.85

ความแปรปรวน

Var(X) = 5.85 − 1.95² = 2.048

σ = √2.048 = 1.431

คำตอบ

σ = 1.431

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = −1.2 €

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 2 (p = 0.15), 18 (p = 0.01), −2 (p = 0.84)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 2·0.15 + 18·0.01 − 2·0.84 = −1.2 €

คำตอบ

E(G) = −1.2 €

ค่าติดลบหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณเสียเงิน

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 0.52

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.3015 = 0.6985

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.6985 ในตารางและอ่านค่า z

z = 0.52

คำตอบ

z = 0.52

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 4)/5 = −0.8

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 6.486 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าประมาณแบบจุด

x̄₁ − x̄₂ = 66.5 − 65 = 1.5

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = √(11²/50 + 14²/50) = 2.518

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·2.518 = 6.486

คำตอบ

E = 6.486 h

ช่วงมี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นข้อมูลไม่แสดงความแตกต่างที่มีนัยสำคัญ

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 1.56 kg

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม

s_p² = (4·1.5² + 11·5²)/15 = 18.93

s_p = 4.351

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.753·4.351·√(1/5 + 1/12) = 4.06

ช่วง

−2.5 ± 4.06 → [−6.56, 1.56]

คำตอบ

ขีดจำกัดบน = 1.56 kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: p = 0.01539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ตัวสถิติทดสอบ

SE = σ/√n = 12.5/√25 = 2.5

z = (125.4 − 120)/2.5 = 2.16

พื้นที่หาง

Φ(2.16) = 0.9846

1 − Φ(2.16) = 0.0154

ค่า p

p = 0.01539

คำตอบ

p = 0.01539

p ≤ 0.05 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5%

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: U = 51.56

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·10/√81 = 2.862

ขีดจำกัดของช่วง

U = 48.7 + 2.862 = 51.56

คำตอบ

U = 51.56

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9866

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 283/5 = 56.6

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 461.2

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 134/√(40·461.2) = 0.9866

คำตอบ

r = 0.9866

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 45.81

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 316/6 = 52.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

เส้นถดถอย

b = 60/17.5 = 3.429

a = 52.67 − 3.429·4.5 = 37.24

ŷ = 37.24 + 3.429·x

การทำนาย

ŷ = 37.24 + 3.429·2.5 = 45.81

คำตอบ

ŷ = 45.81

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1