สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 50, 55, 53, 57, 21

n = 5

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 155.6

μ = 170σ = 12x = 155.6

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

ทอดลูกเต๋ายุติธรรม 6 ครั้ง ความน่าจะเป็น P ที่จะได้เลขหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าใด

n = 6

P =

4.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = −2X + 1 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.3, 0.05, 0.35Y = −2X + 1

σ_Y =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

มวลของกล่องเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 12 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 6 ชิ้นเกิน 74.9 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6> 74.9 kg

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

คะแนน IQ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 10% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 100 คะแนนσ = 15 คะแนน10%

x = คะแนน

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 50 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 11.6 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ ของช่วง 90% จากข้อมูลเดียวกันเป็นเท่าใด

95%n₁ = 50E₁ = 11.690%

E₂ =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 13 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 43 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9.5 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 18 แปลง ค่าเฉลี่ย 36 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 13x̄₁ = 43s₁ = 9.5n₂ = 18x̄₂ = 36s₂ = 599%t(29) = 2.756

ขีดจำกัดล่าง = kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 16 คน คะแนนเฉลี่ย 84 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 11 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 5 คน คะแนนเฉลี่ย 98.1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)

n₁ = 16x̄₁ = 84s₁ = 11n₂ = 5x̄₂ = 98.1s₂ = 2

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 16 ค่ามีค่าเฉลี่ย 198.6 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 8 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 198.6σ = 8n = 1690%

L =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 6Σx = 33Σy = 288Σx² = 199Σy² = 13958Σxy = 1627

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 103 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 103

x =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.87

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 236/5 = 47.2

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 2.8² + 7.8² + 5.8² + 9.8² + (−26.2)² = 884.8

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(884.8/4) = 14.87

คำตอบ

s = 14.87

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −1.2

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (155.6 − 170)/12 = −1.2

คำตอบ

z = −1.2

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.6651

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

ส่วนเติมเต็ม

P(ไม่ได้เลขหก) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

คำตอบ

P = 0.6651

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 2.488

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

การกระจายของ X

μ = 1.45, Var(X) = 1.548, σ_X = 1.244

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |−2|·1.244 = 2.488

คำตอบ

σ_Y = 2.488

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = −2·1.45 + 1 = −1.9

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.06944

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ_T = 72 kg, σ_T = 0.8·√6 = 1.96 kg

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (74.9 − 72)/1.96 = 1.48

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(1.48) = 0.06944

คำตอบ

P = 0.06944

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 80.8 คะแนน

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.1

z จากตาราง

z ≈ −1.28

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 คะแนน

คำตอบ

x = 80.8 คะแนน

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 9.736

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(50/50) = 0.8393

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 11.6·0.8393 = 9.736

คำตอบ

E₂ = 9.736

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = −0.2336 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม

s_p² = (12·9.5² + 17·5²)/29 = 52

s_p = 7.211

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.756·7.211·√(1/13 + 1/18) = 7.234

ช่วง

7 ± 7.234 → [−0.2336, 14.23]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = −0.2336 kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −2.803

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความแปรปรวนรวม

s_p² = (15·11² + 4·2²)/19 = 96.37

s_p = 9.817

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 9.817·√(1/16 + 1/5) = 5.03

ตัวสถิติทดสอบ

t = (84 − 98.1)/5.03 = −2.803

คำตอบ

t = −2.803

เมื่อ df = 19 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.093 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: L = 195.3

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.645·8/√16 = 3.29

ขีดจำกัดของช่วง

L = 198.6 − 3.29 = 195.3

คำตอบ

L = 195.3

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.888

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 1627 − 33·288/6 = 43

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 13958 − 288²/6 = 134

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 43/√(17.5·134) = 0.888

คำตอบ

r = 0.888

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 22.56

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 711/6 = 118.5

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 829.5

เส้นถดถอย

b = 829.5/157.5 = 5.267

a = 118.5 − 5.267·25.5 = −15.8

ŷ = −15.8 + 5.267·x

แก้หา x

x = (103 − (−15.8))/5.267 = 22.56

คำตอบ

x = 22.56

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1