สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
2025303540455055

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 57, 54, 42, 44, 17

n = 5
s =
2.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 56 คือเท่าใด

μ = 50σ = 10x = 56
P =
3.ความน่าจะเป็นปานกลาง
xp(x)10.1520.130.240.350.25μ = 3.4

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.1, 0.2, 0.3, 0.25
Var(X) =
4.ความน่าจะเป็นยาก
n = 6, p = 0.1: P(X = 1) = ?k0123456

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 6 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.1 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 1 ข้อคือเท่าใด

n = 6p = 0.1k = 1
P =
5.การแจกแจงปกติปานกลาง
−3−2−10123zพื้นที่แรเงาทางขวาของ z = 0.0174

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.0174 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.0174
z =
6.การแจกแจงปกติยาก
157164171178185192199cmล่าง 25%

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 25% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
n = 13, s = 8L = ?Ux̄ = 41E95%

ตัวอย่าง 13 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 41 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 8 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 13x̄ = 41s = 895%t(12) = 2.179
ขีดจำกัดล่าง =
8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
p ≈ 0.3, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02599%

การศึกษานำร่องชี้ว่าสินค้าประมาณ 0.3 บกพร่อง ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.025

p ≈ 0.3E = 0.02599%
n =
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
t −1.99801.998

ตัวอย่างนักเรียน 64 คนมีคะแนนเฉลี่ย 120.4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 5 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 120

μ₀ = 120x̄ = 120.4s = 5n = 64
t =
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
μ₀x̄c

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 50 เทียบกับ H₁: μ > 50 ทำที่ α = 0.01 ด้วยตัวอย่าง 36 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 3 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 51.5 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 50μ = 51.5σ = 3n = 36α = 0.01
1 − β = %
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy3575677819831198xy5106080100

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 5
r =
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy129231329439537xy24303540x = 2.5

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 2.5

n = 5x = 2.5
ŷ =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.77

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 214/5 = 42.8

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 14.2² + 11.2² + (−0.8)² + 1.2² + (−25.8)² = 994.8

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(994.8/4) = 15.77

คำตอบ

s = 15.77
2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.7257

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 0.6

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257

คำตอบ

P = 0.7257
3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.84

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.3 + 5·0.25 = 3.4

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.3 + 25·0.25 = 13.4

ความแปรปรวน

Var(X) = 13.4 − 3.4² = 1.84

คำตอบ

Var(X) = 1.84
4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.3543

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

สูตรทวินาม

P(X = 1) = 6·0.11·0.95 = 6·0.1·0.5905 = 0.3543

คำตอบ

P = 0.3543
5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 2.11

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.0174 = 0.9826

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9826 ในตารางและอ่านค่า z

z = 2.11

คำตอบ

z = 2.11
6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 173.3 cm

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.25

z จากตาราง

z ≈ −0.67

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 178 − 0.67·7 = 173.3 cm

คำตอบ

x = 173.3 cm
7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 36.17

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 12, t = 2.179

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.179·8/√13 = 4.835

ช่วง

41 ± 4.835 → [36.17, 45.83]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = 36.17
8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 2230

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับสัดส่วน: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n) โดย p̂ = x/n เพื่อให้ได้ค่าคลาดเคลื่อน E ต้องมี n ≥ z²·p(1 − p)/E² ปัดขึ้น หากไม่มีค่าประมาณล่วงหน้าให้ใช้ p = 0.5 ซึ่งให้ n มากที่สุด

แก้หา n

n = 2.576²·0.3·0.7/0.025² = 2230

ปัดขึ้น

n = 2230

คำตอบ

n = 2230
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 0.64

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

ตัวสถิติทดสอบ

t = (120.4 − 120)/0.625 = 0.64

คำตอบ

t = 0.64
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| < 1.998 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: 1 − β = 74.98 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 3/√36 = 0.5
x̄c = 50 + 2.326·0.5 = 51.16

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (51.16 − 51.5)/0.5 = −0.674

กำลัง

กำลังของการทดสอบ = P(Z > −0.674) = 74.98%
1 − β = 74.98%

คำตอบ

1 − β = 74.98%
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9835

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 386/5 = 77.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196
Syy = Σ(y − ȳ)² = 992.8

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 196/√(40·992.8) = 0.9835

คำตอบ

r = 0.9835
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 31.8

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 165/5 = 33

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24

เส้นถดถอย

b = 24/10 = 2.4
a = 33 − 2.4·3 = 25.8
ŷ = 25.8 + 2.4·x

การทำนาย

ŷ = 25.8 + 2.4·2.5 = 31.8

คำตอบ

ŷ = 31.8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1