สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 44, 26, 13, 29, 53, 16

n = 6

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 68 คือเท่าใด

μ = 60σ = 20x = 68

P =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

ทอดลูกเต๋ายุติธรรม 5 ครั้ง ความน่าจะเป็น P ที่จะได้เลขหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าใด

n = 5

P =

4.ความน่าจะเป็นยาก

ทดสอบชิ้นส่วน 10 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.4 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 10p = 0.4

P =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 32.3 และ 38 min เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 32σ = 6x₁ = 32.3x₂ = 38

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 90% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90)

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 50 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 10.1 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ เป็นเท่าใดถ้าการศึกษาเดียวกันใช้ 200 ค่าแทน

99%n₁ = 50E₁ = 10.1n₂ = 200

E₂ =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 9 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 27 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 5 แปลง ค่าเฉลี่ย 21.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 9x̄₁ = 27s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 21.5s₂ = 390%t(12) = 1.782

ขีดจำกัดล่าง = kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ค่าเฉลี่ยของประชากรถูกอ้างว่าเป็น 100 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็น 7.5 สุ่มตัวอย่าง 25 ค่า ได้ค่าเฉลี่ย 97.63 ทดสอบ H₀: μ = 100 เทียบกับ H₁: μ < 100 จงหาค่า p p

μ₀ = 100σ = 7.5n = 25x̄ = 97.63H₁: μ < μ₀

p =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 100 เทียบกับ H₁: μ < 100 ทำที่ α = 0.05 ด้วยตัวอย่าง 25 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 2.5 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 98.6 จงหาความน่าจะเป็นของความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 100μ = 98.6σ = 2.5n = 25α = 0.05

β = %

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 5

r² =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 40 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 40

x =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.66

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 181/6 = 30.17

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 13.83² + (−4.167)² + (−17.17)² + (−1.167)² + 22.83² + (−14.17)² = 1227

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1227/5) = 15.66

คำตอบ

s = 15.66

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.3446

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 0.4

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

คำตอบ

P = 0.3446

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.5981

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

ส่วนเติมเต็ม

P(ไม่ได้เลขหก) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

คำตอบ

P = 0.5981

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.04636

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.6¹⁰ = 0.006047

P(X = 1) = 10·0.4·0.6⁹ = 0.04031

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.006047 + 0.04031 = 0.04636

คำตอบ

P = 0.04636

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.3214

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (32.3 − 32)/6 = 0.05

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(1) − Φ(0.05) = 0.8413 − 0.5199 = 0.3214

คำตอบ

P = 0.3214

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 551.3 h

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

กลับไปเป็น x

x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h

คำตอบ

x = 551.26 h

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 5.05

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/200) = 0.5

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 10.1·0.5 = 5.05

คำตอบ

E₂ = 5.05

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = −0.436 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม

s_p² = (8·7² + 4·3²)/12 = 35.67

s_p = 5.972

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.782·5.972·√(1/9 + 1/5) = 5.936

ช่วง

5.5 ± 5.936 → [−0.436, 11.44]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = −0.436 kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: p = 0.05705

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ตัวสถิติทดสอบ

SE = σ/√n = 7.5/√25 = 1.5

z = (97.63 − 100)/1.5 = −1.58

พื้นที่หาง

Φ(1.58) = 0.9429

1 − Φ(1.58) = 0.0571

ค่า p

p = 0.05705

คำตอบ

p = 0.05705

p > 0.05 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5%

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: β = 12.4 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 2.5/√25 = 0.5

x̄_c = 100 − 1.645·0.5 = 99.18

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (99.18 − 98.6)/0.5 = 1.155

ความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II

กำลังของการทดสอบ = P(Z < 1.155) = 87.6%

β = 100% − 87.6% = 12.4%

คำตอบ

β = 12.4%

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9661

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 86/5 = 17.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 126.8

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = −35²/(10·126.8) = 0.9661

คำตอบ

r² = 0.9661

ประมาณ 96.61% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 3.412

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 298/6 = 49.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81

เส้นถดถอย

b = 81/17.5 = 4.629

a = 49.67 − 4.629·5.5 = 24.21

ŷ = 24.21 + 4.629·x

แก้หา x

x = (40 − 24.21)/4.629 = 3.412

คำตอบ

x = 3.412

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1