สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 18, 57, 44, 28, 28, 30, 35

n = 7

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 60 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 380 คือเท่าใด

μ = 500σ = 60x = 380

P =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

ในถุงมีลูกบอลสีแดง 8 ลูกและสีน้ำเงิน 4 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด

8 / 4

P =

4.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 5X + 10 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.2, 0.3, 0.3Y = 5X + 10

σ_Y =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 57.5 และ 77.5 คะแนน เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 65σ = 10x₁ = 57.5x₂ = 77.5

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 95% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95)

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 25 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 4.6 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ ของช่วง 90% จากข้อมูลเดียวกันเป็นเท่าใด

95%n₁ = 25E₁ = 4.690%

E₂ =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 27 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1.5

σ = 27E = 1.590%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่างนักเรียน 25 คนมีคะแนนเฉลี่ย 102.4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 5 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 100

μ₀ = 100x̄ = 102.4s = 5n = 25

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 500 เทียบกับ H₁: μ < 500 ทำที่ α = 0.05 ด้วยตัวอย่าง 64 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 4 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 498.7 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 500μ = 498.7σ = 4n = 64α = 0.05

1 − β = %

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 6Σx = 48Σy = 439Σx² = 454Σy² = 33049Σxy = 3765

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 25

n = 6x = 25

ŷ =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 12.74

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 240/7 = 34.29

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−16.29)² + 22.71² + 9.714² + (−6.286)² + (−6.286)² + (−4.286)² + 0.7143² = 973.4

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(973.4/6) = 12.74

คำตอบ

s = 12.74

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.02275

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

คำตอบ

P = 0.02275

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.4242

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242

คำตอบ

P = 0.4242

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 11

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

การกระจายของ X

μ = 3.4, Var(X) = 4.84, σ_X = 2.2

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |5|·2.2 = 11

คำตอบ

σ_Y = 11

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 5·3.4 + 10 = 27

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.6677

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (57.5 − 65)/10 = −0.75

z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(1.25) − Φ(−0.75) = 0.8944 − 0.2266 = 0.6677

คำตอบ

P = 0.6677

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 565.8 h

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

กลับไปเป็น x

x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h

คำตอบ

x = 565.8 h

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 3.861

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(25/25) = 0.8393

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 4.6·0.8393 = 3.861

คำตอบ

E₂ = 3.861

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 877

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = (1.645·27/1.5)² = 876.8

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 877

คำตอบ

n = 877

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 2.4

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

ตัวสถิติทดสอบ

t = (102.4 − 100)/1 = 2.4

คำตอบ

t = 2.4

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: 1 − β = 83.02 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 4/√64 = 0.5

x̄_c = 500 − 1.645·0.5 = 499.2

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (499.2 − 498.7)/0.5 = 0.955

กำลัง

กำลังของการทดสอบ = P(Z < 0.955) = 83.02%

1 − β = 83.02%

คำตอบ

1 − β = 83.02%

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9922

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 3765 − 48·439/6 = 253

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 33049 − 439²/6 = 928.8

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 253/√(70·928.8) = 0.9922

คำตอบ

r = 0.9922

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 116.8

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 644/6 = 107.3

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 330

เส้นถดถอย

b = 330/70 = 4.714

a = 107.3 − 4.714·23 = −1.095

ŷ = −1.095 + 4.714·x

การทำนาย

ŷ = −1.095 + 4.714·25 = 116.8

คำตอบ

ŷ = 116.8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1