สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 36, 20, 26, 59, 24, 29

n = 6

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 108 คือเท่าใด

μ = 100σ = 20x = 108

P =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1

Var(X) =

4.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €3 คุณชนะ €9 ด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และ €150 ด้วยความน่าจะเป็น 0.05 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €3€9: p = 0.3€150: p = 0.05

E(G) = €

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 60 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 s Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 45 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 99.9 s ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99.9 s

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 99% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 99)

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 100 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 133.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 h รุ่นที่ 2: 30 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 128.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 13 h จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 100x̄₁ = 133.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 30x̄₂ = 128.5 hσ₂ = 13 h99%

ขีดจำกัดล่าง = h

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

การศึกษานำร่องชี้ว่าสินค้าประมาณ 0.7 บกพร่อง ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.05

p ≈ 0.7E = 0.0590%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 7 คน คะแนนเฉลี่ย 94 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 7 คน คะแนนเฉลี่ย 86 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6.5 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)

n₁ = 7x̄₁ = 94s₁ = 9n₂ = 7x̄₂ = 86s₂ = 6.5

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ต้องใช้ขนาดตัวอย่างเท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 10 หาขนาดตัวอย่างที่น้อยที่สุด n

σ = 10E = 2.599%

n =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 30Σy = 289Σx² = 220Σy² = 17877Σxy = 1946

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (1.5, 24) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 6(1.5, 24)

e =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.12

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 194/6 = 32.33

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 3.667² + (−12.33)² + (−6.333)² + 26.67² + (−8.333)² + (−3.333)² = 997.3

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(997.3/5) = 14.12

คำตอบ

s = 14.12

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.6554

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 0.4

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

คำตอบ

P = 0.6554

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 0.91

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.35 + 4·0.1 = 2.3

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.35 + 16·0.1 = 6.2

ความแปรปรวน

Var(X) = 6.2 − 2.3² = 0.91

คำตอบ

Var(X) = 0.91

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 7.2 €

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 6 (p = 0.3), 147 (p = 0.05), −3 (p = 0.65)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 6·0.3 + 147·0.05 − 3·0.65 = 7.2 €

คำตอบ

E(G) = 7.2 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8

หางด้านบน

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 593.1 h

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

กลับไปเป็น x

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

คำตอบ

x = 593.05 h

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = −2.233 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าประมาณแบบจุด

x̄₁ − x̄₂ = 133.5 − 128.5 = 5

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = √(15²/100 + 13²/30) = 2.808

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·2.808 = 7.233

ช่วง

5 ± 7.233 → [−2.233, 12.23]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = −2.233 h

ช่วงมี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นข้อมูลไม่แสดงความแตกต่างที่มีนัยสำคัญ

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 228

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

แก้หา n

n = 1.645²·0.7·0.3/0.05² = 227.3

ปัดขึ้น

n = 228

คำตอบ

n = 228

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 1.907

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความแปรปรวนรวม

s_p² = (6·9² + 6·6.5²)/12 = 61.63

s_p = 7.85

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 7.85·√(1/7 + 1/7) = 4.196

ตัวสถิติทดสอบ

t = (94 − 86)/4.196 = 1.907

คำตอบ

t = 1.907

เมื่อ df = 12 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.179 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 107

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

แก้หา n

n = (2.576·10/2.5)² = 106.2

ปัดขึ้น

n = 107

คำตอบ

n = 107

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9788

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 1946 − 30·289/5 = 212

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 17877 − 289²/5 = 1173

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 212/√(40·1173) = 0.9788

คำตอบ

r = 0.9788

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = 1.695

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 116/6 = 19.33

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

เส้นถดถอย

b = −26/17.5 = −1.486

a = 19.33 − (−1.486)·3.5 = 24.53

ŷ = 24.53 − 1.486·x

ค่าทำนาย

ŷ = 24.53 + (−1.486)·1.5 = 22.3

ส่วนตกค้าง

e = 24 − 22.3 = 1.695

คำตอบ

e = 1.695

จุดนี้อยู่เหนือเส้นตรง

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1