สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 18, 23, 31, 54, 12, 33

n = 6

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 25 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 537.5 คือเท่าใด

μ = 500σ = 25x = 537.5

P =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

เลือกคณะกรรมการ 4 คนจากกลุ่ม 8 คนได้กี่วิธี N ลำดับไม่สำคัญ

n = 8k = 4

N =

4.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = −2X + 5 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.3, 0.35, 0.2, 0.1Y = −2X + 5

σ_Y =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

น้ำหนักของถุงมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 240 และ 251 g เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 251

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

น้ำหนักของถุงมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 80% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80)

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 25 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 78 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 6 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 25x̄ = 78s = 699%t(24) = 2.797

ขีดจำกัดบน =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

การศึกษานำร่องชี้ว่าสินค้าประมาณ 0.15 บกพร่อง ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.01

p ≈ 0.15E = 0.0195%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่างนักเรียน 49 คนมีคะแนนเฉลี่ย 500.4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 4 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 500

μ₀ = 500x̄ = 500.4s = 4n = 49

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 500 เทียบกับ H₁: μ > 500 ทำที่ α = 0.01 ด้วยตัวอย่าง 100 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 5 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 501.35 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 500μ = 501.35σ = 5n = 100α = 0.01

1 − β = %

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 5

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (3, 10) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 5(3, 10)

e =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.76

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 171/6 = 28.5

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−10.5)² + (−5.5)² + 2.5² + 25.5² + (−16.5)² + 4.5² = 1090

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1090/5) = 14.76

คำตอบ

s = 14.76

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.9332

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 1.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

คำตอบ

P = 0.9332

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: N = 70

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การจัดหมู่

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

คำตอบ

N = 70

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 2.098

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

การกระจายของ X

μ = 2, Var(X) = 1.1, σ_X = 1.049

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |−2|·1.049 = 2.098

คำตอบ

σ_Y = 2.098

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = −2·2 + 5 = 1

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.5565

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(0.2) − Φ(−2) = 0.5793 − 0.02275 = 0.5565

คำตอบ

P = 0.5565

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 254.2 g

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

กลับไปเป็น x

x = 250 + 0.8416·5 = 254.21 g

คำตอบ

x = 254.21 g

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 81.36

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 24, t = 2.797

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.797·6/√25 = 3.356

ช่วง

78 ± 3.356 → [74.64, 81.36]

คำตอบ

ขีดจำกัดบน = 81.36

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 4899

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

แก้หา n

n = 1.96²·0.15·0.85/0.01² = 4898

ปัดขึ้น

n = 4899

คำตอบ

n = 4899

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 0.7

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

ตัวสถิติทดสอบ

t = (500.4 − 500)/0.5714 = 0.7

คำตอบ

t = 0.7

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: 1 − β = 64.58 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 500 + 2.326·0.5 = 501.2

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (501.2 − 501.35)/0.5 = −0.374

กำลัง

กำลังของการทดสอบ = P(Z > −0.374) = 64.58%

1 − β = 64.58%

คำตอบ

1 − β = 64.58%

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9525

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 347/5 = 69.4

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 223.2

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 90/√(40·223.2) = 0.9525

คำตอบ

r = 0.9525

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = 2.4

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 68/5 = 13.6

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

เส้นถดถอย

b = 80/40 = 2

a = 13.6 − 2·6 = 1.6

ŷ = 1.6 + 2·x

ค่าทำนาย

ŷ = 1.6 + 2·3 = 7.6

ส่วนตกค้าง

e = 10 − 7.6 = 2.4

คำตอบ

e = 2.4

จุดนี้อยู่เหนือเส้นตรง

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1