สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 53, 28, 52, 34, 35, 41

n = 6

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 44

μ = 60σ = 8x = 44

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.05, 0.35, 0.35, 0.1

Var(X) =

4.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €1 คุณชนะ €2 ด้วยความน่าจะเป็น 0.2 และ €20 ด้วยความน่าจะเป็น 0.01 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €1€2: p = 0.2€20: p = 0.01

E(G) = €

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 29 และ 33.2 min เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 33.2

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 10% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10)

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 36 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 11.1 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ เป็นเท่าใดถ้าการศึกษาเดียวกันใช้ 9 ค่าแทน

99%n₁ = 36E₁ = 11.1n₂ = 9

E₂ =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

เพลาที่กลึง 16 ชิ้นมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 7.6 µm สมมติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมีการแจกแจงปกติ จงหา ขีดจำกัดบน σ ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เมื่อ df = 15 การแจกแจง χ² 2.5% อยู่ต่ำกว่า 6.262 และ 2.5% อยู่สูงกว่า 27.488

n = 16s = 7.6 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

พนักงาน 16 คนทำแบบทดสอบการพิมพ์ก่อนและหลังหลักสูตรอบรม บันทึกผลต่าง d = หลัง − ก่อน (คำต่อนาที) ของแต่ละคน ค่าเฉลี่ยของผลต่างคือ 4.13 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างคือ 8.7 จงหาค่าสถิติทดสอบแบบจับคู่ t สำหรับ H₀: μ_d = 0

n = 16d̄ = 4.13s_d = 8.7

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 200 เทียบกับ H₁: μ > 200 ทำที่ α = 0.10 ด้วยตัวอย่าง 36 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 9 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 202.85 จงหาความน่าจะเป็นของความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 200μ = 202.85σ = 9n = 36α = 0.10

β = %

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r

n = 5

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 21.5

n = 6x = 21.5

ŷ =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 10.17

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 243/6 = 40.5

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 12.5² + (−12.5)² + 11.5² + (−6.5)² + (−5.5)² + 0.5² = 517.5

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(517.5/5) = 10.17

คำตอบ

s = 10.17

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −2

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (44 − 60)/8 = −2

คำตอบ

z = −2

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.36

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.15 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.35 + 5·0.1 = 3.2

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.35 + 25·0.1 = 11.6

ความแปรปรวน

Var(X) = 11.6 − 3.2² = 1.36

คำตอบ

Var(X) = 1.36

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = −0.4 €

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 1 (p = 0.2), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 1·0.2 + 19·0.01 − 1·0.79 = −0.4 €

คำตอบ

E(G) = −0.4 €

ค่าติดลบหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณเสียเงิน

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.2707

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5

z₂ = (33.2 − 32)/6 = 0.2

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(0.2) − Φ(−0.5) = 0.5793 − 0.3085 = 0.2707

คำตอบ

P = 0.2707

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 169 cm

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

กลับไปเป็น x

x = 178 + −1.282·7 = 169.03 cm

คำตอบ

x = 169.03 cm

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 22.2

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(36/9) = 2

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 11.1·2 = 22.2

คำตอบ

E₂ = 22.2

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: σ = 11.76 µm

ช่วงสำหรับความแปรปรวน: (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1 ช่วง 95% สำหรับ σ² ไปจาก (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านบน (2.5% อยู่เหนือค่านั้น) ถึง (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านล่าง (2.5% อยู่ต่ำกว่าค่านั้น) ช่วงสำหรับ σ คือรากที่สองของทั้งสองขีดจำกัด และไม่สมมาตรรอบ s

ผลรวมกำลังสอง

(n − 1)s² = 15·7.6² = 866.4

ขีดจำกัดของ σ²

866.4/27.488 = 31.52

866.4/6.262 = 138.4

ขีดจำกัดของ σ

σ = √138.4 = 11.76 µm

คำตอบ

σ = 11.76 µm

ช่วง 95% สำหรับ σ: [5.614, 11.76] µm

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 1.899

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่างเฉลี่ย

SE = 8.7/√16 = 2.175

ตัวสถิติทดสอบ

t = 4.13/2.175 = 1.899

คำตอบ

t = 1.899

เมื่อ df = 15 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.131 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: β = 26.83 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 9/√36 = 1.5

x̄_c = 200 + 1.282·1.5 = 201.9

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (201.9 − 202.85)/1.5 = −0.618

ความคลาดเคลื่อนประเภทที่ II

กำลังของการทดสอบ = P(Z > −0.618) = 73.17%

β = 100% − 73.17% = 26.83%

คำตอบ

β = 26.83%

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.959

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 311/5 = 62.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 282.8

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 51/√(10·282.8) = 0.959

คำตอบ

r = 0.959

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 59.17

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 129/6 = 21.5

ȳ = 355/6 = 59.17

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 523.5

เส้นถดถอย

b = 523.5/157.5 = 3.324

a = 59.17 − 3.324·21.5 = −12.3

ŷ = −12.3 + 3.324·x

การทำนาย

ŷ = −12.3 + 3.324·21.5 = 59.17

คำตอบ

ŷ = 59.17

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1