สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 28, 39, 17, 44, 51

n = 5

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 50

μ = 60σ = 20x = 50

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

ในถุงมีลูกบอลสีแดง 7 ลูกและสีน้ำเงิน 4 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด

7 / 4

P =

4.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = −2X − 3 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = −2X − 3

σ_Y =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 60 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 s Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 45 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 111.4 s ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111.4 s

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.03 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 6 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 30 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 13 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 6x̄ = 30s = 1399%t(5) = 4.032

E =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 14 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2

σ = 14E = 299%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

สายการผลิตสองสายผลิตชิ้นส่วนเดียวกัน สายที่ 1: ตัวอย่าง 40 ชิ้นมีความยาวเฉลี่ย 136 mm และทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของสายคือ 5 mm สายที่ 2: ตัวอย่าง 100 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 131.8 mm ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 mm จงหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (สายที่ 1 ลบสายที่ 2)

n₁ = 40x̄₁ = 136 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 100x̄₂ = 131.8 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ในการทดลองหนึ่ง ผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา A หายป่วย 53 จาก 150 คน และผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา B หายป่วย 65 จาก 250 คน จงใช้สัดส่วนรวมหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: p₁ = p₂

x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 65n₂ = 250

z =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 5

r² =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 19 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 19

x =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 13.44

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 179/5 = 35.8

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−7.8)² + 3.2² + (−18.8)² + 8.2² + 15.2² = 722.8

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(722.8/4) = 13.44

คำตอบ

s = 13.44

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −0.5

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (50 − 60)/20 = −0.5

คำตอบ

z = −0.5

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.3818

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0.3818

คำตอบ

P = 0.3818

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 1.609

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

การกระจายของ X

μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |−2|·0.8047 = 1.609

คำตอบ

σ_Y = 1.609

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = −2·1.05 − 3 = −5.1

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1587

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (111.4 − 105)/6.403 = 1

หางด้านบน

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

คำตอบ

P = 0.1587

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9099

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

คำตอบ

P = 0.9099

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 21.4

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 5, t = 4.032

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 4.032·13/√6 = 21.4

คำตอบ

E = 21.4

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 326

แก้หา n

n = (2.576·14/2)² = 325.2

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 326

คำตอบ

n = 326

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = 2.923

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่าง

SE = √(5²/40 + 12²/100) = √2.065 = 1.437

ตัวสถิติทดสอบ

z = (136 − 131.8)/1.437 = 2.923

คำตอบ

z = 2.923

|z| > 1.96 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = 1.982

สัดส่วนจากตัวอย่าง

p̂₁ = 53/150 = 0.3533

p̂₂ = 65/250 = 0.26

p̂ = 118/400 = 0.295

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานภายใต้ H₀

SE = √(0.295·0.705·(1/150 + 1/250)) = 0.0471

ตัวสถิติทดสอบ

z = (0.3533 − 0.26)/0.0471 = 1.982

คำตอบ

z = 1.982

|z| > 1.96 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9453

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 415/5 = 83

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1280

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 220²/(40·1280) = 0.9453

คำตอบ

r² = 0.9453

ประมาณ 94.53% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 5.015

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 155/6 = 25.83

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241

เส้นถดถอย

b = 241/70 = 3.443

a = 25.83 − 3.443·7 = 1.733

ŷ = 1.733 + 3.443·x

แก้หา x

x = (19 − 1.733)/3.443 = 5.015

คำตอบ

x = 5.015

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1