สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
2โจทย์ฝึก
1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 38, 45, 32, 27, 42, 37
n = 6
s =
2.สถิติเชิงพรรณนายาก
ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 50 คือเท่าใด
μ = 60σ = 5x = 50
P =
3.ความน่าจะเป็นปานกลาง
สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.15, 0.3, 0.3
Var(X) =
4.ความน่าจะเป็นยาก
X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = −2X − 3 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σY ของ Y
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.2, 0.15, 0.35Y = −2X − 3
σY =
5.การแจกแจงปกติปานกลาง
ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 167.15 และ 179.4 cm เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม
μ = 178σ = 7x1 = 167.15x2 = 179.4
P =
6.การแจกแจงปกติยาก
เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.03 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
รู: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 10 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย 0.8 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.6 จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับผลต่างเฉลี่ย
n = 10d̄ = 0.8sd = 1.699%t(9) = 3.25
ขีดจำกัดบน = mmHg
8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 25 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 5
σ = 25E = 599%
n =
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 7 คน คะแนนเฉลี่ย 68.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 5 คน คะแนนเฉลี่ย 66.1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3.5 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)
n₁ = 7x̄₁ = 68.5s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 66.1s₂ = 3.5
t =
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 50 เทียบกับ H₁: μ > 50 ทำที่ α = 0.05 ด้วยตัวอย่าง 100 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 25 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 52.75 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์
μ₀ = 50μ = 52.75σ = 25n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
n = 5Σx = 30Σy = 102Σx² = 220Σy² = 2468Σxy = 736
r =
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (6, 49) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ
n = 5(6, 49)
e =
3สารละลาย
1.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 6.555
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 221/6 = 36.83
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = 1.167² + 8.167² + (−4.833)² + (−9.833)² + 5.167² + 0.1667² = 214.8
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(214.8/5) = 6.555
คำตอบ
s = 6.555
2.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: P = 0.9772
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = −2
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
คำตอบ
P = 0.9772
3.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: Var(X) = 1.327
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
ค่าเฉลี่ย
μ = 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.65
ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.35
ความแปรปรวน
Var(X) = 8.35 − 2.65² = 1.327
คำตอบ
Var(X) = 1.327
4.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: σY = 4.976
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
การกระจายของ X
μ = 3.1, Var(X) = 6.19, σX = 2.488
การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น
σY = |−2|·2.488 = 4.976
คำตอบ
σY = 4.976
ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = −2·3.1 − 3 = −9.2
5.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.5187
การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง
คะแนนมาตรฐาน z
z₁ = (167.15 − 178)/7 = −1.55
z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2
พื้นที่ระหว่างสองค่า
P = Φ(0.2) − Φ(−1.55) = 0.5793 − 0.06057 = 0.5187
คำตอบ
P = 0.5187
6.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.9515
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลต่าง
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66
ความน่าจะเป็น
P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515
คำตอบ
P = 0.9515
7.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 2.444 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
ค่าวิกฤต
df = 9, t = 3.25
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 3.25·1.6/√10 = 1.644
ช่วง
0.8 ± 1.644 → [−0.8444, 2.444]
คำตอบ
ขีดจำกัดบน = 2.444 mmHg
8.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 166
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
แก้หา n
n = (2.576·25/5)² = 165.9
ปัดขึ้น
ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป
n = 166
คำตอบ
n = 166
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: t = 0.9188
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
ความแปรปรวนรวม
sp² = (6·5² + 4·3.5²)/10 = 19.9
sp = 4.461
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = 4.461·√(1/7 + 1/5) = 2.612
ตัวสถิติทดสอบ
t = (68.5 − 66.1)/2.612 = 0.9188
คำตอบ
t = 0.9188
เมื่อ df = 10 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.228 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: 1 − β = 29.29 %
กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)
ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต
SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 50 + 1.645·2.5 = 54.11
z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง
z = (54.11 − 52.75)/2.5 = 0.545
กำลัง
กำลังของการทดสอบ = P(Z > 0.545) = 29.29%
1 − β = 29.29%
คำตอบ
1 − β = 29.29%
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.9964
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว
Sxy = 736 − 30·102/5 = 124
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2468 − 102²/5 = 387.2
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 124/√(40·387.2) = 0.9964
คำตอบ
r = 0.9964
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: e = 2
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 214/5 = 42.8
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
เส้นถดถอย
b = 168/40 = 4.2
a = 42.8 − 4.2·5 = 21.8
ŷ = 21.8 + 4.2·x
ค่าทำนาย
ŷ = 21.8 + 4.2·6 = 47
ส่วนตกค้าง
e = 49 − 47 = 2
คำตอบ
e = 2
จุดนี้อยู่เหนือเส้นตรง
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1