สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 56, 51, 54, 21, 45, 56, 18

n = 7

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 60

μ = 50σ = 10x = 60

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

σ =

4.ความน่าจะเป็นยาก

ทดสอบชิ้นส่วน 5 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.2 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 5p = 0.2

P =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.9868 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.9868

z =

6.การแจกแจงปกติยาก

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 20% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 20 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 94 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 1 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 20x̄ = 94s = 199%t(19) = 2.861

ขีดจำกัดบน =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

เพลาที่กลึง 25 ชิ้นมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 0.7 µm สมมติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมีการแจกแจงปกติ จงหา ขีดจำกัดบน σ ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เมื่อ df = 24 การแจกแจง χ² 2.5% อยู่ต่ำกว่า 12.401 และ 2.5% อยู่สูงกว่า 39.364

n = 25s = 0.7 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ค่าเฉลี่ยของประชากรถูกอ้างว่าเป็น 80 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็น 2.5 สุ่มตัวอย่าง 25 ค่า ได้ค่าเฉลี่ย 80.67 ทดสอบ H₀: μ = 80 เทียบกับ H₁: μ > 80 จงหาค่า p p

μ₀ = 80σ = 2.5n = 25x̄ = 80.67H₁: μ > μ₀

p =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 36 ค่ามีค่าเฉลี่ย 498.8 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 12 หาขีดจำกัดบน U ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 498.8σ = 12n = 3695%

U =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 110Σy = 477Σx² = 2510Σy² = 47597Σxy = 10920

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (5, 10) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 6(5, 10)

e =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 16.51

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 301/7 = 43

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 13² + 8² + 11² + (−22)² + 2² + 13² + (−25)² = 1636

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1636/6) = 16.51

คำตอบ

s = 16.51

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = 1

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (60 − 50)/10 = 1

คำตอบ

z = 1

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 0.8047

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

ความแปรปรวน

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

คำตอบ

σ = 0.8047

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.7373

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.3277

P(X = 1) = 5·0.2·0.8⁴ = 0.4096

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.3277 + 0.4096 = 0.7373

คำตอบ

P = 0.7373

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = −2.22

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.9868 = 0.0132

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.0132 ในตารางและอ่านค่า z

z = −2.22

คำตอบ

z = −2.22

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 466 h

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.2

z จากตาราง

z ≈ −0.84

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 500 − 0.84·40 = 466 h

คำตอบ

x = 466 h

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 94.64

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 19, t = 2.861

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.861·1/√20 = 0.6397

ช่วง

94 ± 0.6397 → [93.36, 94.64]

คำตอบ

ขีดจำกัดบน = 94.64

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: σ = 0.9738 µm

ช่วงสำหรับความแปรปรวน: (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1 ช่วง 95% สำหรับ σ² ไปจาก (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านบน (2.5% อยู่เหนือค่านั้น) ถึง (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านล่าง (2.5% อยู่ต่ำกว่าค่านั้น) ช่วงสำหรับ σ คือรากที่สองของทั้งสองขีดจำกัด และไม่สมมาตรรอบ s

ผลรวมกำลังสอง

(n − 1)s² = 24·0.7² = 11.76

ขีดจำกัดของ σ²

11.76/39.364 = 0.2988

11.76/12.401 = 0.9483

ขีดจำกัดของ σ

σ = √0.9483 = 0.9738 µm

คำตอบ

σ = 0.9738 µm

ช่วง 95% สำหรับ σ: [0.5466, 0.9738] µm

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: p = 0.09012

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ตัวสถิติทดสอบ

SE = σ/√n = 2.5/√25 = 0.5

z = (80.67 − 80)/0.5 = 1.34

พื้นที่หาง

Φ(1.34) = 0.9099

1 − Φ(1.34) = 0.0901

ค่า p

p = 0.09012

คำตอบ

p = 0.09012

p > 0.05 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5%

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: U = 502.7

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.96·12/√36 = 3.92

ขีดจำกัดของช่วง

U = 498.8 + 3.92 = 502.7

คำตอบ

U = 502.7

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.982

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 10920 − 110·477/5 = 426

S_xx = 2510 − 110²/5 = 90

S_yy = 47597 − 477²/5 = 2091

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 426/√(90·2091) = 0.982

คำตอบ

r = 0.982

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = −2.214

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 105/6 = 17.5

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 185

เส้นถดถอย

b = 185/70 = 2.643

a = 17.5 − 2.643·7 = −1

ŷ = −1 + 2.643·x

ค่าทำนาย

ŷ = −1 + 2.643·5 = 12.21

ส่วนตกค้าง

e = 10 − 12.21 = −2.214

คำตอบ

e = −2.214

จุดนี้อยู่ใต้เส้นตรง

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1