สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
2โจทย์ฝึก
1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 52, 40, 42, 54, 17
n = 5
s =
2.สถิติเชิงพรรณนายาก
ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 94 คือเท่าใด
μ = 100σ = 12x = 94
P =
3.ความน่าจะเป็นปานกลาง
เลือกคณะกรรมการ 3 คนจากกลุ่ม 8 คนได้กี่วิธี N ลำดับไม่สำคัญ
n = 8k = 3
N =
4.ความน่าจะเป็นยาก
X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 3X + 4 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σY ของ Y
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.35Y = 3X + 4
σY =
5.การแจกแจงปกติปานกลาง
ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.4907 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง
A = 0.4907
z =
6.การแจกแจงปกติยาก
ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 85% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ตัวอย่าง 16 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 78.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 6 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย
n = 16x̄ = 78.5s = 690%t(15) = 1.753
ขีดจำกัดล่าง =
8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
การศึกษานำร่องชี้ว่าสินค้าประมาณ 0.1 บกพร่อง ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.05
p ≈ 0.1E = 0.0599%
n =
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ตัวอย่างนักเรียน 100 คนมีคะแนนเฉลี่ย 51.2 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 5 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 50
μ₀ = 50x̄ = 51.2s = 5n = 100
t =
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
ต้องใช้ขนาดตัวอย่างเท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 10 หาขนาดตัวอย่างที่น้อยที่สุด n
σ = 10E = 195%
n =
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
n = 5Σx = 100Σy = 561Σx² = 2040Σy² = 63827Σxy = 11404
r =
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 2.5
n = 5x = 2.5
ŷ =
3สารละลาย
1.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 14.73
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 205/5 = 41
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = 11² + (−1)² + 1² + 13² + (−24)² = 868
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(868/4) = 14.73
คำตอบ
s = 14.73
2.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: P = 0.6915
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = −0.5
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
คำตอบ
P = 0.6915
3.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: N = 56
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
การจัดหมู่
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
คำตอบ
N = 56
4.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: σY = 7.701
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
การกระจายของ X
μ = 3.1, Var(X) = 6.59, σX = 2.567
การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น
σY = |3|·2.567 = 7.701
คำตอบ
σY = 7.701
ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 3·3.1 + 4 = 13.3
5.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: z = 0.66
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
พื้นที่ทางซ้ายของ z
Φ(z) = (1 + 0.4907)/2 = 0.7454
อ่านตาราง z ย้อนกลับ
หา 0.7454 ในตารางและอ่านค่า z
z = 0.66
คำตอบ
z = 0.66
6.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: x = 185.3 cm
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
พื้นที่ทางซ้าย
Φ(z) = 0.85
z จากตาราง
z ≈ 1.04
กลับเป็นหน่วยเดิม
x = 178 + 1.04·7 = 185.3 cm
คำตอบ
x = 185.3 cm
7.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 75.87
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
ค่าวิกฤต
df = n − 1 = 15, t = 1.753
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.753·6/√16 = 2.629
ช่วง
78.5 ± 2.629 → [75.87, 81.13]
คำตอบ
ขีดจำกัดล่าง = 75.87
8.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 239
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
แก้หา n
n = 2.576²·0.1·0.9/0.05² = 238.9
ปัดขึ้น
n = 239
คำตอบ
n = 239
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: t = 2.4
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
ตัวสถิติทดสอบ
t = (51.2 − 50)/0.5 = 2.4
คำตอบ
t = 2.4
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 385
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
แก้หา n
n = (1.96·10/1)² = 384.2
ปัดขึ้น
n = 385
คำตอบ
n = 385
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.9792
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว
Sxy = 11404 − 100·561/5 = 184
Sxx = 2040 − 100²/5 = 40
Syy = 63827 − 561²/5 = 882.8
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 184/√(40·882.8) = 0.9792
คำตอบ
r = 0.9792
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: ŷ = 23.35
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 113/5 = 22.6
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
เส้นถดถอย
b = −15/10 = −1.5
a = 22.6 − (−1.5)·3 = 27.1
ŷ = 27.1 − 1.5·x
การทำนาย
ŷ = 27.1 + (−1.5)·2.5 = 23.35
คำตอบ
ŷ = 23.35
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1