สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 53, 35, 37, 20, 10, 28, 14

n = 7

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 60 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 45

μ = 60σ = 15x = 45

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.25, 0.25, 0.1, 0.1

Var(X) =

4.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 3X + 5 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 3X + 5

σ_Y =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.0336 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.0336

z =

6.การแจกแจงปกติยาก

เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.04 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

รู: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 13 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 96 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 10 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 13x̄ = 96s = 1099%t(12) = 3.055

E =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 32 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2.5

σ = 32E = 2.595%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 5 คน คะแนนเฉลี่ย 35 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.5 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 11 คน คะแนนเฉลี่ย 40 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)

n₁ = 5x̄₁ = 35s₁ = 5.5n₂ = 11x̄₂ = 40s₂ = 5

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ตัวอย่างการวัด 36 ค่ามีค่าเฉลี่ย 118.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 12 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 118.2σ = 12n = 3699%

L =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 5

r² =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 12 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 12

x =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.94

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 197/7 = 28.14

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 24.86² + 6.857² + 8.857² + (−8.143)² + (−18.14)² + (−0.1429)² + (−14.14)² = 1339

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1339/6) = 14.94

คำตอบ

s = 14.94

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −1

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (45 − 60)/15 = −1

คำตอบ

z = −1

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 1.647

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.3 + 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.1 + 4·0.1 = 1.45

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.1 + 16·0.1 = 3.75

ความแปรปรวน

Var(X) = 3.75 − 1.45² = 1.647

คำตอบ

Var(X) = 1.647

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 2.51

การกระจายของ X

μ = 1, Var(X) = 0.7, σ_X = 0.8367

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |3|·0.8367 = 2.51

คำตอบ

σ_Y = 2.51

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 3·1 + 5 = 8

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.83

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.0336 = 0.9664

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9664 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.83

คำตอบ

z = 1.83

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.9868

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

คำตอบ

P = 0.9868

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 8.473

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 12, t = 3.055

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 3.055·10/√13 = 8.473

คำตอบ

E = 8.473

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 630

แก้หา n

n = (1.96·32/2.5)² = 629.4

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 630

คำตอบ

n = 630

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −1.801

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความแปรปรวนรวม

s_p² = (4·5.5² + 10·5²)/14 = 26.5

s_p = 5.148

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 5.148·√(1/5 + 1/11) = 2.777

ตัวสถิติทดสอบ

t = (35 − 40)/2.777 = −1.801

คำตอบ

t = −1.801

เมื่อ df = 14 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.145 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: L = 113

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·12/√36 = 5.152

ขีดจำกัดของช่วง

L = 118.2 − 5.152 = 113

คำตอบ

L = 113

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9309

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 45/5 = 9

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 110

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 64²/(40·110) = 0.9309

คำตอบ

r² = 0.9309

ประมาณ 93.09% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 7.915

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 64/6 = 10.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

เส้นถดถอย

b = 102/70 = 1.457

a = 10.67 − 1.457·7 = 0.4667

ŷ = 0.4667 + 1.457·x

แก้หา x

x = (12 − 0.4667)/1.457 = 7.915

คำตอบ

x = 7.915

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1