สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 28, 34, 15, 52, 56, 52, 45

n = 7

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 50 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 562.5 คือเท่าใด

μ = 500σ = 50x = 562.5

P =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.2, 0.35, 0.1

σ =

4.ความน่าจะเป็นยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 11 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.5 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 1 ข้อคือเท่าใด

n = 11p = 0.5k = 1

P =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.9476 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.9476

z =

6.การแจกแจงปกติยาก

คะแนนสอบ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 60% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x

μ = 65 คะแนนσ = 10 คะแนน60%

x = คะแนน

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 20 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย 8.7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.9 จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับผลต่างเฉลี่ย

n = 20d̄ = 8.7s_d = 1.999%t(19) = 2.861

ขีดจำกัดบน = mmHg

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 2 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 0.5

σ = 2E = 0.590%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่างนักเรียน 100 คนมีคะแนนเฉลี่ย 118.6 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 10 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 120

μ₀ = 120x̄ = 118.6s = 10n = 100

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

ในการทดลองหนึ่ง ผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา A หายป่วย 130 จาก 200 คน และผู้ป่วยที่ได้รับการรักษา B หายป่วย 158 จาก 200 คน จงใช้สัดส่วนรวมหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: p₁ = p₂

x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 158n₂ = 200

z =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 5

r² =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 72 ที่ค่า x ใด

n = 5ŷ = 72

x =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.13

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 282/7 = 40.29

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−12.29)² + (−6.286)² + (−25.29)² + 11.71² + 15.71² + 11.71² + 4.714² = 1373

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1373/6) = 15.13

คำตอบ

s = 15.13

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.1056

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 1.25

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

คำตอบ

P = 0.1056

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 10.3

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 10·0.35 + 20·0.2 + 30·0.35 + 40·0.1 = 22

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.2 + 900·0.35 + 1600·0.1 = 590

ความแปรปรวน

Var(X) = 590 − 22² = 106

σ = √106 = 10.3

คำตอบ

σ = 10.3

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.005371

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

สูตรทวินาม

P(X = 1) = 11·0.5¹·0.5¹⁰ = 11·0.5·0.0009766 = 0.005371

คำตอบ

P = 0.005371

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.94

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.9476)/2 = 0.9738

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9738 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.94

คำตอบ

z = 1.94

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 67.5 คะแนน

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.6

z จากตาราง

z ≈ 0.25

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 65 + 0.25·10 = 67.5 คะแนน

คำตอบ

x = 67.5 คะแนน

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 9.916 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าวิกฤต

df = 19, t = 2.861

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.861·1.9/√20 = 1.216

ช่วง

8.7 ± 1.216 → [7.484, 9.916]

คำตอบ

ขีดจำกัดบน = 9.916 mmHg

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 44

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = (1.645·2/0.5)² = 43.3

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 44

คำตอบ

n = 44

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −1.4

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

ตัวสถิติทดสอบ

t = (118.6 − 120)/1 = −1.4

คำตอบ

t = −1.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = −3.118

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

สัดส่วนจากตัวอย่าง

p̂₁ = 130/200 = 0.65

p̂₂ = 158/200 = 0.79

p̂ = 288/400 = 0.72

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานภายใต้ H₀

SE = √(0.72·0.28·(1/200 + 1/200)) = 0.0449

ตัวสถิติทดสอบ

z = (0.65 − 0.79)/0.0449 = −3.118

คำตอบ

z = −3.118

|z| > 1.96 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.8412

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 212/5 = 42.4

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 309.2

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 51²/(10·309.2) = 0.8412

คำตอบ

r² = 0.8412

ประมาณ 84.12% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 8.115

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 343/5 = 68.6

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

เส้นถดถอย

b = 122/40 = 3.05

a = 68.6 − 3.05·7 = 47.25

ŷ = 47.25 + 3.05·x

แก้หา x

x = (72 − 47.25)/3.05 = 8.115

คำตอบ

x = 8.115

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1