สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 51, 25, 52, 26, 34, 46, 38

n = 7

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 92.5

μ = 100σ = 5x = 92.5

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.2, 0.25, 0.3, 0.2

σ =

4.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €5 คุณชนะ €15 ด้วยความน่าจะเป็น 0.15 และ €250 ด้วยความน่าจะเป็น 0.05 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €5€15: p = 0.15€250: p = 0.05

E(G) = €

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

มวลของสลักเกลียวเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 40 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.2 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 5 ชิ้นเกิน 202.7 g ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 5> 202.7 g

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

ส่วนสูง X ของผู้ชายและ Y ของผู้หญิงในกลุ่มหนึ่ง เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 180 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 cm ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 170 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 cm จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 25 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 6.4 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ ของช่วง 99% จาก 225 ค่าเป็นเท่าใด

95%n₁ = 25E₁ = 6.499%n₂ = 225

E₂ =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

เพลาที่กลึง 10 ชิ้นมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง 1.3 µm สมมติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางมีการแจกแจงปกติ จงหา ขีดจำกัดบน σ ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เมื่อ df = 9 การแจกแจง χ² 2.5% อยู่ต่ำกว่า 2.7 และ 2.5% อยู่สูงกว่า 19.023

n = 10s = 1.3 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

พนักงาน 20 คนทำแบบทดสอบการพิมพ์ก่อนและหลังหลักสูตรอบรม บันทึกผลต่าง d = หลัง − ก่อน (คำต่อนาที) ของแต่ละคน ค่าเฉลี่ยของผลต่างคือ −1.13 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างคือ 1.3 จงหาค่าสถิติทดสอบแบบจับคู่ t สำหรับ H₀: μ_d = 0

n = 20d̄ = −1.13s_d = 1.3

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวที่ α = 0.01 ต้องตรวจจับการเลื่อนของค่าเฉลี่ย 4 หน่วยด้วยกำลังของการทดสอบ 80% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 17 จงหาขนาดตัวอย่างต่ำสุด n

α = 0.01กำลังของการทดสอบ = 80%δ = 4σ = 17z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6

r² =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 5

n = 6x = 5

ŷ =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 11.2

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 272/7 = 38.86

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 12.14² + (−13.86)² + 13.14² + (−12.86)² + (−4.857)² + 7.143² + (−0.8571)² = 752.9

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(752.9/6) = 11.2

คำตอบ

s = 11.2

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = −1.5

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (92.5 − 100)/5 = −1.5

คำตอบ

z = −1.5

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 1.158

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 1·0.05 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.3 + 5·0.2 = 3.4

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.3 + 25·0.2 = 12.9

ความแปรปรวน

Var(X) = 12.9 − 3.4² = 1.34

σ = √1.34 = 1.158

คำตอบ

σ = 1.158

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 9.75 €

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 10 (p = 0.15), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.8)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 10·0.15 + 245·0.05 − 5·0.8 = 9.75 €

คำตอบ

E(G) = 9.75 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.1562

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลรวม

μ_T = 200 g, σ_T = 1.2·√5 = 2.683 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (202.7 − 200)/2.683 = 1.01

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(1.01) = 0.1562

คำตอบ

P = 0.1562

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7389

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

คำตอบ

P = 0.7389

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 2.804

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(25/225) = 0.4381

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 6.4·0.4381 = 2.804

คำตอบ

E₂ = 2.804

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: σ = 2.373 µm

ช่วงสำหรับความแปรปรวน: (n − 1)s²/σ² มีการแจกแจง χ² ที่มีองศาเสรี n − 1 ช่วง 95% สำหรับ σ² ไปจาก (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านบน (2.5% อยู่เหนือค่านั้น) ถึง (n − 1)s² หารด้วยค่า χ² ด้านล่าง (2.5% อยู่ต่ำกว่าค่านั้น) ช่วงสำหรับ σ คือรากที่สองของทั้งสองขีดจำกัด และไม่สมมาตรรอบ s

ผลรวมกำลังสอง

(n − 1)s² = 9·1.3² = 15.21

ขีดจำกัดของ σ²

15.21/19.023 = 0.7996

15.21/2.7 = 5.633

ขีดจำกัดของ σ

σ = √5.633 = 2.373 µm

คำตอบ

σ = 2.373 µm

ช่วง 95% สำหรับ σ: [0.8942, 2.373] µm

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −3.887

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่างเฉลี่ย

SE = 1.3/√20 = 0.2907

ตัวสถิติทดสอบ

t = −1.13/0.2907 = −3.887

คำตอบ

t = −3.887

เมื่อ df = 19 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.093 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 182

ขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ: เพื่อตรวจจับการเลื่อนจริง δ ด้วยกำลัง 1 − β ในการทดสอบ z ด้านเดียวที่ระดับ α ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานต้องเป็นไปตาม δ = (z_α + z_β)·σ/√n ดังนั้น n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = ((2.326 + 0.842)·17/4)² = 181.3

ปัดขึ้น

n = 182

คำตอบ

n = 182

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9135

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 342/6 = 57

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 518

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 91²/(17.5·518) = 0.9135

คำตอบ

r² = 0.9135

ประมาณ 91.35% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: ŷ = 52.44

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 376/6 = 62.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 358

เส้นถดถอย

b = 358/70 = 5.114

a = 62.67 − 5.114·7 = 26.87

ŷ = 26.87 + 5.114·x

การทำนาย

ŷ = 26.87 + 5.114·5 = 52.44

คำตอบ

ŷ = 52.44

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1