สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 14, 44, 38, 21, 14

n = 5

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 82

μ = 70σ = 12x = 82

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

เลือกคณะกรรมการ 2 คนจากกลุ่ม 7 คนได้กี่วิธี N ลำดับไม่สำคัญ

n = 7k = 2

N =

4.ความน่าจะเป็นยาก

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = −2X + 5 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ_Y ของ Y

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.25, 0.1, 0.35Y = −2X + 5

σ_Y =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 30.5 และ 41 min เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 32σ = 6x₁ = 30.5x₂ = 41

P =

6.การแจกแจงปกติยาก

น้ำหนักของถุงมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 250 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 g หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 95% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95)

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 80 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 67.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 18 h รุ่นที่ 2: 60 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 66 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 h จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 80x̄₁ = 67.5 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 66 hσ₂ = 8 h99%

ขีดจำกัดบน = h

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 14 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1.5

σ = 14E = 1.590%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

สายการผลิตสองสายผลิตชิ้นส่วนเดียวกัน สายที่ 1: ตัวอย่าง 40 ชิ้นมีความยาวเฉลี่ย 66.5 mm และทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของสายคือ 4 mm สายที่ 2: ตัวอย่าง 80 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 63.5 mm ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 mm จงหาค่าสถิติทดสอบ z สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (สายที่ 1 ลบสายที่ 2)

n₁ = 40x̄₁ = 66.5 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 80x̄₂ = 63.5 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 500 เทียบกับ H₁: μ > 500 ทำที่ α = 0.01 ด้วยตัวอย่าง 100 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 15 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 503.3 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 500μ = 503.3σ = 15n = 100α = 0.01

1 − β = %

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6

r² =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (4.5, 71) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 5(4.5, 71)

e =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 13.97

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 131/5 = 26.2

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−12.2)² + 17.8² + 11.8² + (−5.2)² + (−12.2)² = 780.8

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(780.8/4) = 13.97

คำตอบ

s = 13.97

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = 1

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (82 − 70)/12 = 1

คำตอบ

z = 1

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: N = 21

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การจัดหมู่

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

คำตอบ

N = 21

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ_Y = 24.9

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

การกระจายของ X

μ = 25, Var(X) = 155, σ_X = 12.45

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σ_Y = |−2|·12.45 = 24.9

คำตอบ

σ_Y = 24.9

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = −2·25 + 5 = −45

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.5319

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (30.5 − 32)/6 = −0.25

z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(1.5) − Φ(−0.25) = 0.9332 − 0.4013 = 0.5319

คำตอบ

P = 0.5319

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 258.2 g

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

กลับไปเป็น x

x = 250 + 1.645·5 = 258.22 g

คำตอบ

x = 258.22 g

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 7.327 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าประมาณแบบจุด

x̄₁ − x̄₂ = 67.5 − 66 = 1.5

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = √(18²/80 + 8²/60) = 2.262

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.576·2.262 = 5.827

ช่วง

1.5 ± 5.827 → [−4.327, 7.327]

คำตอบ

ขีดจำกัดบน = 7.327 h

ช่วงมี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นข้อมูลไม่แสดงความแตกต่างที่มีนัยสำคัญ

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 236

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = (1.645·14/1.5)² = 235.7

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 236

คำตอบ

n = 236

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: z = 2.023

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่าง

SE = √(4²/40 + 12²/80) = √2.2 = 1.483

ตัวสถิติทดสอบ

z = (66.5 − 63.5)/1.483 = 2.023

คำตอบ

z = 2.023

|z| > 1.96 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: 1 − β = 44.99 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 15/√100 = 1.5

x̄_c = 500 + 2.326·1.5 = 503.5

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (503.5 − 503.3)/1.5 = 0.126

กำลัง

กำลังของการทดสอบ = P(Z > 0.126) = 44.99%

1 − β = 44.99%

คำตอบ

1 − β = 44.99%

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.9033

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 408/6 = 68

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 620

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 99²/(17.5·620) = 0.9033

คำตอบ

r² = 0.9033

ประมาณ 90.33% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = −3.4

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 356/5 = 71.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

เส้นถดถอย

b = 64/10 = 6.4

a = 71.2 − 6.4·4 = 45.6

ŷ = 45.6 + 6.4·x

ค่าทำนาย

ŷ = 45.6 + 6.4·4.5 = 74.4

ส่วนตกค้าง

e = 71 − 74.4 = −3.4

คำตอบ

e = −3.4

จุดนี้อยู่ใต้เส้นตรง

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1