สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 15, 51, 52, 56, 44

n = 5

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 86 คือเท่าใด

μ = 70σ = 8x = 86

P =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาความแปรปรวน Var(X) ของ X

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.2, 0.2, 0.3

Var(X) =

4.ความน่าจะเป็นยาก

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €10 คุณชนะ €20 ด้วยความน่าจะเป็น 0.25 และ €500 ด้วยความน่าจะเป็น 0.02 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €10€20: p = 0.25€500: p = 0.02

E(G) = €

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.9146 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.9146

z =

6.การแจกแจงปกติยาก

ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm ลากค่าตัดให้ส่วนบน 40% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ตัวอย่าง 13 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 16.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 11 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย

n = 13x̄ = 16.5s = 1199%t(12) = 3.055

E =

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ไม่ทราบสัดส่วนของสินค้าบกพร่องล่วงหน้า ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.025

p = 0.5E = 0.02599%

n =

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 16 คน คะแนนเฉลี่ย 118 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 11 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 10 คน คะแนนเฉลี่ย 112.4 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7.5 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)

n₁ = 16x̄₁ = 118s₁ = 11n₂ = 10x̄₂ = 112.4s₂ = 7.5

t =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวที่ α = 0.05 ต้องตรวจจับการเลื่อนของค่าเฉลี่ย 2.5 หน่วยด้วยกำลังของการทดสอบ 90% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 23 จงหาขนาดตัวอย่างต่ำสุด n

α = 0.05กำลังของการทดสอบ = 90%δ = 2.5σ = 23z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 25Σy = 213Σx² = 165Σy² = 10231Σxy = 1279

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 80 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 80

x =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 16.56

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 218/5 = 43.6

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−28.6)² + 7.4² + 8.4² + 12.4² + 0.4² = 1097

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1097/4) = 16.56

คำตอบ

s = 16.56

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.9772

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

คำตอบ

P = 0.9772

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: Var(X) = 145

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σ_Y = |a|·σ_X การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 10·0.3 + 20·0.2 + 30·0.2 + 40·0.3 = 25

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.2 + 900·0.2 + 1600·0.3 = 770

ความแปรปรวน

Var(X) = 770 − 25² = 145

คำตอบ

Var(X) = 145

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 5 €

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 10 (p = 0.25), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.73)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 10·0.25 + 490·0.02 − 10·0.73 = 5 €

คำตอบ

E(G) = 5 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.72

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.9146)/2 = 0.9573

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9573 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.72

คำตอบ

z = 1.72

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 179.8 cm

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.6

z จากตาราง

z ≈ 0.25

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 178 + 0.25·7 = 179.8 cm

คำตอบ

x = 179.8 cm

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 9.32

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

ค่าวิกฤต

df = n − 1 = 12, t = 3.055

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 3.055·11/√13 = 9.32

คำตอบ

E = 9.32

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

แก้หา n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.025² = 2654

ปัดขึ้น

n = 2655

คำตอบ

n = 2655

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 1.413

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ความแปรปรวนรวม

s_p² = (15·11² + 9·7.5²)/24 = 96.72

s_p = 9.835

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 9.835·√(1/16 + 1/10) = 3.964

ตัวสถิติทดสอบ

t = (118 − 112.4)/3.964 = 1.413

คำตอบ

t = 1.413

เมื่อ df = 24 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.064 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 726

ขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ: เพื่อตรวจจับการเลื่อนจริง δ ด้วยกำลัง 1 − β ในการทดสอบ z ด้านเดียวที่ระดับ α ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานต้องเป็นไปตาม δ = (z_α + z_β)·σ/√n ดังนั้น n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = ((1.645 + 1.282)·23/2.5)² = 725.1

ปัดขึ้น

n = 726

คำตอบ

n = 726

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9947

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 1279 − 25·213/5 = 214

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 10231 − 213²/5 = 1157

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 214/√(40·1157) = 0.9947

คำตอบ

r = 0.9947

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 7.163

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 474/6 = 79

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 430

เส้นถดถอย

b = 430/70 = 6.143

a = 79 − 6.143·7 = 36

ŷ = 36 + 6.143·x

แก้หา x

x = (80 − 36)/6.143 = 7.163

คำตอบ

x = 7.163

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1