สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย: x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน: ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ: 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม: P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x: P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง: Φ(z₂) − Φ(z₁)
เปอร์เซ็นไทล์: x = μ + z·σ

วิธีการ

แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ: x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง: n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%: ปฏิเสธ H₀ ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น: x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน: b = S_xy/S_xx
ระยะตัดแกน: a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
ส่วนตกค้าง: e = y − ŷ

2โจทย์ฝึก

1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 53, 32, 53, 41, 40, 60

n = 6

s =

2.สถิติเชิงพรรณนายาก

คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 70

μ = 50σ = 20x = 70

z =

3.ความน่าจะเป็นปานกลาง

เลือกคณะกรรมการ 5 คนจากกลุ่ม 14 คนได้กี่วิธี N ลำดับไม่สำคัญ

n = 14k = 5

N =

4.ความน่าจะเป็นยาก

ข้อสอบมีคำถามปรนัย 9 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.1 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 2 ข้อคือเท่าใด

n = 9p = 0.1k = 2

P =

5.การแจกแจงปกติปานกลาง

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.2946 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.2946

z =

6.การแจกแจงปกติยาก

เวลาต่อรอบของนักวิ่ง A คือ X และของนักวิ่ง B คือ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 52 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4 s ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 48 s และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 s จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 30 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 92 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 h รุ่นที่ 2: 100 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 102 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 13 h จงหาค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 30x̄₁ = 92 hσ₁ = 12 hn₂ = 100x̄₂ = 102 hσ₂ = 13 h90%

E = h

8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก

ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 5 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 28 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 12 แปลง ค่าเฉลี่ย 17 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 5x̄₁ = 28s₁ = 7n₂ = 12x̄₂ = 17s₂ = 395%t(15) = 2.131

ขีดจำกัดล่าง = kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง

ค่าเฉลี่ยของประชากรถูกอ้างว่าเป็น 500 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็น 15 สุ่มตัวอย่าง 36 ค่า ได้ค่าเฉลี่ย 496.75 ทดสอบ H₀: μ = 500 เทียบกับ H₁: μ ≠ 500 จงหาค่า p p

μ₀ = 500σ = 15n = 36x̄ = 496.75H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก

การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 500 เทียบกับ H₁: μ < 500 ทำที่ α = 0.10 ด้วยตัวอย่าง 25 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 5 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 497.1 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์

μ₀ = 500μ = 497.1σ = 5n = 25α = 0.10

1 − β = %

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 25Σy = 324Σx² = 165Σy² = 22456Σxy = 1860

r =

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 137 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 137

x =

3สารละลาย

1.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 10.48

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 279/6 = 46.5

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 6.5² + (−14.5)² + 6.5² + (−5.5)² + (−6.5)² + 13.5² = 549.5

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(549.5/5) = 10.48

คำตอบ

s = 10.48

2.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: z = 1

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (70 − 50)/20 = 1

คำตอบ

z = 1

3.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: N = 2002

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การจัดหมู่

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

คำตอบ

N = 2002

4.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.1722

สูตรทวินาม

P(X = 2) = 36·0.1²·0.9⁷ = 36·0.01·0.4783 = 0.1722

คำตอบ

P = 0.1722

5.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 0.54

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.2946 = 0.7054

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.7054 ในตารางและอ่านค่า z

z = 0.54

คำตอบ

z = 0.54

6.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.7881

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y² ดังนั้น σ = √(σ_X² + σ_Y²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 4)/5 = −0.8

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

คำตอบ

P = 0.7881

7.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 4.191 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าประมาณแบบจุด

x̄₁ − x̄₂ = 92 − 102 = −10

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = √(12²/30 + 13²/100) = 2.548

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.645·2.548 = 4.191

คำตอบ

E = 4.191 h

ช่วงไม่มี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ

8.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 5.97 kg

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม

s_p² = (4·7² + 11·3²)/15 = 19.67

s_p = 4.435

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.131·4.435·√(1/5 + 1/12) = 5.03

ช่วง

11 ± 5.03 → [5.97, 16.03]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = 5.97 kg

9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: p = 0.1936

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

ตัวสถิติทดสอบ

SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5

z = (496.75 − 500)/2.5 = −1.3

พื้นที่หาง

Φ(1.3) = 0.9032

1 − Φ(1.3) = 0.0968

ค่า p

p = 2·0.0968 = 0.1936

คำตอบ

p = 0.1936

p > 0.05 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5%

10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: 1 − β = 94.72 %

กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 500 − 1.282·1 = 498.7

z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง

z = (498.7 − 497.1)/1 = 1.618

กำลัง

กำลังของการทดสอบ = P(Z < 1.618) = 94.72%

1 − β = 94.72%

คำตอบ

1 − β = 94.72%

11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9929

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

S_xy = 1860 − 25·324/5 = 240

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 22456 − 324²/5 = 1461

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 240/√(40·1461) = 0.9929

คำตอบ

r = 0.9929

12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 24.97

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 749/6 = 124.8

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 433

เส้นถดถอย

b = 433/70 = 6.186

a = 124.8 − 6.186·23 = −17.44

ŷ = −17.44 + 6.186·x

แก้หา x

x = (137 − (−17.44))/6.186 = 24.97

คำตอบ

x = 24.97

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1