สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
2โจทย์ฝึก
1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 33, 20, 15, 43, 32
n = 5
s =
2.สถิติเชิงพรรณนายาก
ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 516 คือเท่าใด
μ = 500σ = 40x = 516
P =
3.ความน่าจะเป็นปานกลาง
ในถุงมีลูกบอลสีแดง 7 ลูกและสีน้ำเงิน 6 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด
7 / 6
P =
4.ความน่าจะเป็นยาก
ข้อสอบมีคำถามปรนัย 7 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.3 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 3 ข้อคือเท่าใด
n = 7p = 0.3k = 3
P =
5.การแจกแจงปกติปานกลาง
คะแนน IQมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 82.75 และ 127.75 คะแนน เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม
μ = 100σ = 15x1 = 82.75x2 = 127.75
P =
6.การแจกแจงปกติยาก
ส่วนสูงของผู้ชายวัยผู้ใหญ่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 178 cm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 cm ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 90% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x
μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 80 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 93 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 h รุ่นที่ 2: 100 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 101.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 h จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂
n₁ = 80x̄₁ = 93 hσ₁ = 3 hn₂ = 100x̄₂ = 101.5 hσ₂ = 8 h90%
ขีดจำกัดล่าง = h
8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 9 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 3
σ = 9E = 399%
n =
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 7 คน คะแนนเฉลี่ย 106.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 19 คน คะแนนเฉลี่ย 100.7 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)
n₁ = 7x̄₁ = 106.5s₁ = 12n₂ = 19x̄₂ = 100.7s₂ = 2
t =
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
การทดสอบ z ด้านเดียวของ H₀: μ = 200 เทียบกับ H₁: μ < 200 ทำที่ α = 0.01 ด้วยตัวอย่าง 64 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 16 ในความเป็นจริงค่าเฉลี่ยคือ 195.4 จงหากำลังของการทดสอบ 1 − β เป็นเปอร์เซ็นต์
μ₀ = 200μ = 195.4σ = 16n = 64α = 0.01
1 − β = %
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
n = 6Σx = 27Σy = 248Σx² = 139Σy² = 10490Σxy = 1177
r =
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 149 ที่ค่า x ใด
n = 5ŷ = 149
x =
3สารละลาย
1.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 11.15
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 143/5 = 28.6
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = 4.4² + (−8.6)² + (−13.6)² + 14.4² + 3.4² = 497.2
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(497.2/4) = 11.15
คำตอบ
s = 11.15
2.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: P = 0.3446
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = 0.4
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
คำตอบ
P = 0.3446
3.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.2692
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง
P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692
คำตอบ
P = 0.2692
4.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.2269
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
สูตรทวินาม
P(X = 3) = 35·0.33·0.74 = 35·0.027·0.2401 = 0.2269
คำตอบ
P = 0.2269
5.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.8428
การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง
คะแนนมาตรฐาน z
z₁ = (82.75 − 100)/15 = −1.15
z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85
พื้นที่ระหว่างสองค่า
P = Φ(1.85) − Φ(−1.15) = 0.9678 − 0.1251 = 0.8428
คำตอบ
P = 0.8428
6.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: x = 187 cm
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
พื้นที่ทางซ้าย
Φ(z) = 0.9
z จากตาราง
z ≈ 1.28
กลับเป็นหน่วยเดิม
x = 178 + 1.28·7 = 187 cm
คำตอบ
x = 187 cm
7.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = −9.927 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
ค่าประมาณแบบจุด
x̄₁ − x̄₂ = 93 − 101.5 = −8.5
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = √(3²/80 + 8²/100) = 0.8675
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.645·0.8675 = 1.427
ช่วง
−8.5 ± 1.427 → [−9.927, −7.073]
คำตอบ
ขีดจำกัดล่าง = −9.927 h
ช่วงไม่มี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ
8.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 60
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
แก้หา n
n = (2.576·9/3)² = 59.72
ปัดขึ้น
ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป
n = 60
คำตอบ
n = 60
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: t = 2.101
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
ความแปรปรวนรวม
sp² = (6·12² + 18·2²)/24 = 39
sp = 6.245
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = 6.245·√(1/7 + 1/19) = 2.761
ตัวสถิติทดสอบ
t = (106.5 − 100.7)/2.761 = 2.101
คำตอบ
t = 2.101
เมื่อ df = 24 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.064 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: 1 − β = 48.96 %
กำลังของการทดสอบ: กำลัง = 1 − β คือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธ H₀ เมื่อ H₀ ผิด ให้หาค่าตัดแบ่ง x̄c จาก μ₀ และ z_α แล้วคำนวณความน่าจะเป็นที่ตกเลย x̄c โดยใช้ค่าเฉลี่ยจริง: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)
ค่าเฉลี่ยตัวอย่างวิกฤต
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 200 − 2.326·2 = 195.3
z ภายใต้ค่าเฉลี่ยจริง
z = (195.3 − 195.4)/2 = −0.026
กำลัง
กำลังของการทดสอบ = P(Z < −0.026) = 48.96%
1 − β = 48.96%
คำตอบ
1 − β = 48.96%
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.9426
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว
Sxy = 1177 − 27·248/6 = 61
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 10490 − 248²/6 = 239.3
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 61/√(17.5·239.3) = 0.9426
คำตอบ
r = 0.9426
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: x = 25.49
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 594/5 = 118.8
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 606
เส้นถดถอย
b = 606/90 = 6.733
a = 118.8 − 6.733·21 = −22.6
ŷ = −22.6 + 6.733·x
แก้หา x
x = (149 − (−22.6))/6.733 = 25.49
คำตอบ
x = 25.49
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1