สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
สถิติเบื้องต้น: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
2โจทย์ฝึก
1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 56, 19, 17, 43, 25, 31, 25
n = 7
s =
2.สถิติเชิงพรรณนายาก
ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 54.8 คือเท่าใด
μ = 50σ = 8x = 54.8
P =
3.ความน่าจะเป็นปานกลาง
สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
4.ความน่าจะเป็นยาก
X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 5X + 1 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σY ของ Y
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.35, 0.15, 0.2Y = 5X + 1
σY =
5.การแจกแจงปกติปานกลาง
มวลของกล่องเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 12 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 16 ชิ้นเกิน 187.2 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16> 187.2 kg
P =
6.การแจกแจงปกติยาก
อายุการใช้งานของแบตเตอรี่ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 10% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
7.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 30 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 115 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 h รุ่นที่ 2: 100 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 104.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 h จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂
n₁ = 30x̄₁ = 115 hσ₁ = 5 hn₂ = 100x̄₂ = 104.5 hσ₂ = 8 h90%
ขีดจำกัดล่าง = h
8.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 9 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 77 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.5 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 7 แปลง ค่าเฉลี่ย 76.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.5 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับ μ₁ − μ₂
n₁ = 9x̄₁ = 77s₁ = 1.5n₂ = 7x̄₂ = 76.5s₂ = 1.599%t(14) = 2.977
ขีดจำกัดล่าง = kg
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 7 คน คะแนนเฉลี่ย 118 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 11.5 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 9 คน คะแนนเฉลี่ย 111.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)
n₁ = 7x̄₁ = 118s₁ = 11.5n₂ = 9x̄₂ = 111.5s₂ = 7
t =
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
ตัวอย่างการวัด 16 ค่ามีค่าเฉลี่ย 105.8 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 8 หาขีดจำกัดบน U ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย
x̄ = 105.8σ = 8n = 1695%
U =
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
n = 5Σx = 15Σy = 233Σx² = 55Σy² = 10901Σxy = 708
r =
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 31 ที่ค่า x ใด
n = 6ŷ = 31
x =
3สารละลาย
1.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 14.03
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 216/7 = 30.86
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = 25.14² + (−11.86)² + (−13.86)² + 12.14² + (−5.857)² + 0.1429² + (−5.857)² = 1181
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(1181/6) = 14.03
คำตอบ
s = 14.03
2.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: P = 0.2743
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = 0.6
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
คำตอบ
P = 0.2743
3.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: σ = 0.8047
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
ค่าเฉลี่ย
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
ความแปรปรวน
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
คำตอบ
σ = 0.8047
4.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: σY = 10.9
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
การกระจายของ X
μ = 2.5, Var(X) = 4.75, σX = 2.179
การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น
σY = |5|·2.179 = 10.9
คำตอบ
σY = 10.9
ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 5·2.5 + 1 = 13.5
5.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.9332
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลรวม
μT = 192 kg, σT = 0.8·√16 = 3.2 kg
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (187.2 − 192)/3.2 = −1.5
ความน่าจะเป็น
P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332
คำตอบ
P = 0.9332
6.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: x = 449 h
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
พื้นที่ทางซ้าย
Φ(z) = 0.1
z จากตาราง
z ≈ −1.28
กลับเป็นหน่วยเดิม
x = 500 − 1.28·40 = 449 h
คำตอบ
x = 449 h
7.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = 8.503 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
ค่าประมาณแบบจุด
x̄₁ − x̄₂ = 115 − 104.5 = 10.5
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = √(5²/30 + 8²/100) = 1.214
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.645·1.214 = 1.997
ช่วง
10.5 ± 1.997 → [8.503, 12.5]
คำตอบ
ขีดจำกัดล่าง = 8.503 h
ช่วงไม่มี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ
8.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = −1.75 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม
sp² = (8·1.5² + 6·1.5²)/14 = 2.25
sp = 1.5
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 2.977·1.5·√(1/9 + 1/7) = 2.25
ช่วง
0.5 ± 2.25 → [−1.75, 2.75]
คำตอบ
ขีดจำกัดล่าง = −1.75 kg
9.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: t = 1.402
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
ความแปรปรวนรวม
sp² = (6·11.5² + 8·7²)/14 = 84.68
sp = 9.202
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = 9.202·√(1/7 + 1/9) = 4.637
ตัวสถิติทดสอบ
t = (118 − 111.5)/4.637 = 1.402
คำตอบ
t = 1.402
เมื่อ df = 14 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.145 |t| น้อยกว่า จึงไม่ปฏิเสธ H₀
10.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: U = 109.7
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.96·8/√16 = 3.92
ขีดจำกัดของช่วง
U = 105.8 + 3.92 = 109.7
คำตอบ
U = 109.7
11.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.433
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว
Sxy = 708 − 15·233/5 = 9
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 10901 − 233²/5 = 43.2
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 9/√(10·43.2) = 0.433
คำตอบ
r = 0.433
12.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: x = 7.222
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 181/6 = 30.17
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263
เส้นถดถอย
b = 263/70 = 3.757
a = 30.17 − 3.757·7 = 3.867
ŷ = 3.867 + 3.757·x
แก้หา x
x = (31 − 3.867)/3.757 = 7.222
คำตอบ
x = 7.222
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1