İşleme uygun biçimi seçin: toplama ve çıkarma için dikdörtgen a + jb, çarpma, bölme, kuvvet ve kökler için kutupsal r∠θ.
j² = −1 ile açarak çarpın; bölmek için pay ve paydayı paydanın eşleniğiyle çarpın.
r = √(a² + b²) ile ve θ’yı noktanın bir çiziminden (bölgeyi denetleyin) bularak çevirin; geri dönmek için a = r cos θ, b = r sin θ kullanın.
Kuvvetler için De Moivre’i, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, kullanın; zⁿ = R∠φ için n kökün hepsini R1/n∠((φ + 360°k)/n) olarak listeleyin.
AC empedans ve fazörler
Empedanslar
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Açısal frekans
ω = 2πf
Genlik ve açı
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Fazör biçiminde Ohm yasası
V = I·Z
Yöntem
Frekansı çevirin: ω = 2πf.
Her reaktansı bulun: XL = ωL ve XC = 1/(ωC).
Empedansları dirençler gibi Z = R + jX ile toplayın.
|Z| = √(R² + X²) büyüklüğünü ve φ = atan(X/R) açısını bulun, sonra fazörlerle Ohm yasasını kullanın.
AC güç ve güç faktörü
Aktif güç
P = V·I·cos φ
Reaktif güç
Q = V·I·sin φ
Görünür güç
S = V·I = √(P² + Q²)
Güç faktörü
pf = cos φ = P/S
Kompanzasyon kondansatörü
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği
Doğal frekans
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Enerji
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Tepe akım
Imax = V0√(C/L)
Kalite faktörü
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Seri RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Paralel RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bant genişliği
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Yarım güç frekansları
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
r bobin dirençli tank devresi
RD = L/(C·r) = Q²·r
Genliğin sönümü
e−Rt/(2L)
Yöntem
Önce rezonans frekansını bulun: ω₀ = 1/√(LC) ve f₀ = ω₀/(2π).
Devrenin seri mi paralel mi olduğuna karar verin: seri Q = (1/R)√(L/C), paralel Q = R√(C/L).
Bant genişliği için BW = f₀/Q formülünü ya da R/(2πL) (seri) ve 1/(2πRC) (paralel) kısayollarını kullanın.
Enerji sorularında, ideal bir LC devresinde toplam ½CV₀² enerjisinin sabit kaldığını ve her çeyrek periyotta C ile L arasında gidip geldiğini kullanın.
Üç fazlı güç
Y bağlantı
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ bağlantı
VL = Vph, IL = √3·Iph
Toplam aktif güç
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Görünür ve reaktif güç
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompanzasyon kondansatörleri
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Her kondansatör üzerindeki gerilim
Δ: VL Y: VL/√3
Motor giriş gücü
Pin = Pout/η
RC ve RL geçici rejim
Zaman sabiti
τ = RC | τ = L/R
Yanıt
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
DC’de kondansatör
açık devre; vC ani değişemez
DC’de bobin
kısa devre; iL ani değişemez
Kalıcı durum
t ≈ 5τ
Yöntem
Anahtarlamadan hemen sonraki başlangıç değerini bulun: kondansatör gerilimi ve bobin akımı ani değişemez.
Anahtarlamadan çok sonraki son değeri bulun: kondansatör açık devre, bobin kısa devre gibi davranır.
Zaman sabitini bulun: kondansatörün veya bobinin gördüğü direnci kullanarak τ = RC veya τ = L/R.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ kullanın.
Thévenin ve Norton
Thévenin gerilimi
Vth = Vopen circuit
Thévenin direnci
Rth: tüm kaynaklar kapalı, a–b’den görülen
Norton akımı
IN = Vth/Rth
Yük akımı
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksimum güç aktarımı
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Yöntem
Yükü çıkarın ve iki ucu a ve b olarak işaretleyin.
a ve b arasındaki açık devre gerilimini bulun: bu Vth’dir.
Tüm bağımsız kaynakları devre dışı bırakın ve a–b uçlarından görülen direnci bulun: bu Rth’dir.
Yükü eşdeğer devreye geri bağlayın: Rth ile seri Vth.
Norton eşdeğeri için dönüştürün: IN = Vth/Rth, paralel RN = Rth ile.
2Alıştırma soruları
1.Karmaşık sayılarOrta
z₁ = 3∠100° ve z₂ = 3∠65° verilmiş. w = z₁/z₂ sayısının argümanını, θ, −180° ile 180° arasında derece cinsinden bulun.
z₁ = 3∠100°z₂ = 3∠65°
θ = °
2.Karmaşık sayılarZor
n = 5 ve w = 243∠45° için zⁿ = w denkleminin kökleri, k = 0, 1, …, 4 olmak üzere zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)’dir. z₁ kökünün sanal kısmını bulun.
w = 243∠45°n = 5k = 1
Im(z₁) =
3.AC empedans ve fazörlerOrta
Seri bir RLC devresi 12 V (rms), 60 Hz bir kaynağa bağlı. Devrenin güç faktörü cos φ değerini bulun.
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF
cos φ =
4.AC empedans ve fazörlerZor
Seri bir RLC devresi, frekansı devrenin rezonans frekansına ayarlanmış 5 V (rms)’lik bir kaynakla sürülüyor. Bobin üzerindeki rms gerilim VL değerini bulun.
V = 5 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 1 µF
VL = V
5.AC güç ve güç faktörüOrta
240 V’luk tek fazlı bir kaynağa iki yük paralel bağlıdır: 0,65 geri güç faktörlü 2 kW’lık bir yük ve 0,95 ileri güç faktörlü 18 kW’lık bir yük. Kaynağın gördüğü toplam güç faktörü cos φ değerini bulun.
V = 240 VP1 = 2 kW, pf1 = 0,65 geriP2 = 18 kW, pf2 = 0,95 ileri
cos φ =
6.AC güç ve güç faktörüZor
100 kVA’lık tek fazlı bir transformatör 0,8 geri güç faktöründe 39 kW’lık bir yükü besliyor. Transformatör kVA değerine ulaşmadan önce dirençsel (birim güç faktörlü) yük olarak ne kadar ek aktif güç ΔP eklenebilir?
Smax = 100 kVAP1 = 39 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliğiOrta
Bir seri RLC devresinde R = 22 Ω, L = 2,2 mH ve C = 22 nF’dir. Kalite çarpanını Q bulun.
R = 22 ΩL = 2,2 mHC = 22 nF
Q =
8.LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliğiZor
Toplam direnci 100 Ω, rezonans frekansı 20 kHz ve bant genişliği 1 kHz olan bir seri RLC filtresi tasarlayın. Kapasitansı C nF cinsinden bulun.
R = 100 Ωf0 = 20 kHzBW = 1 kHz
C = nF
9.Üç fazlı güçOrta
Dengeli üç fazlı bir yük, fazlar arası gerilimi 400 V olan bir kaynaktan 30 A hat akımı çekiyor. Güç faktörü 0,82 geri. Yükün çektiği toplam aktif güç P değerini kW cinsinden bulun.
VL = 400 VIL = 30 Acos φ = 0,82
P = kW
10.Üç fazlı güçZor
Dengeli üç fazlı bir yük, 480 V (fazlar arası), 50 Hz bir kaynaktan 0,78 geri güç faktöründe 60 kW çekiyor. Yüke paralel bağlanan üç fazlı bir kondansatör grubu toplam güç faktörünü 0,98 geriye yükseltmelidir. Aktif güç aynı kalır. Kondansatör grubunun sağlaması gereken toplam reaktif güç QC değerini kvar cinsinden bulun.
P = 60 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC ve RL geçici rejimOrta
Anahtar t = 0’da kapanmadan önce bobinden akım geçmez. Devre kararlı hâle geldiğinde bobinde depolanan enerji W(∞) değerini mJ cinsinden bulun.
Vs = 24 VR = 50 ΩL = 10 mH
W(∞) = mJ
12.RC ve RL geçici rejimZor
R2 üzerindeki anahtar uzun süredir açıktır, bu yüzden bobin akımı sabittir. t = 0’da anahtar kapanır ve R2 direncini kısa devre eder. t = 20 ms anında bobin akımı i değerini bulun.
Vs = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩL = 150 mHt = 20 ms
i = A
13.Thévenin ve NortonOrta
a–b uçlarından görülen Thévenin gerilimi Vth değerini bulun.
V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
14.Thévenin ve NortonZor
Norton akımı IN değerini bulun: uçlar kısa devre edilirse a’dan b’ye akan akım.
V1 = 30 VIs = 0,5 AR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 Ω
IN = A
15.Bode diyagramları ve paylarOrta
Gösterilen RC alçak geçiren filtre için R = 4,7 kΩ, C = 100 nF geçerlidir. 1,7 kHz değerinde sinüsoidal bir giriş uygulanır. vout’un vin’e göre φ faz kaymasını derece cinsinden bulun.
R = 4,7 kΩC = 100 nFf = 1,7 kHz
φ = °
16.Bode diyagramları ve paylarZor
Birim geri beslemeli bir çevrimin açık çevrim transfer fonksiyonu L(s) = 200/(s(s + 20))’dır. Faz payını PM derece cinsinden bulun.
L(s) = 200/(s(s + 20))
PM = °
3Çözeltiler
1.Karmaşık sayılar
Cevap: θ = 35 °
Kutupsal biçim: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ; r = |z| ve θ = arg z. Dikdörtgen biçime dönüş: a = r cos θ, b = r sin θ. Argüman için bölge gerekir: θ = atan(b/a) yalnızca a > 0 için geçerlidir; a < 0 için 180° ekleyin ya da çıkarın. Kutupsal biçimde çarpma kolaydır: modülleri çarpın, argümanları toplayın; bölmek için modülleri bölün, argümanları çıkarın.
w’nun modülü ve argümanı
|w| = 3 / 3 = 1
θ = 100° − 65° = 35°
Argüman
θ = 35°
Cevap
θ = 35°
2.Karmaşık sayılar
Cevap: Im(z₁) = 2,963
De Moivre ve kökler: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. zⁿ = R∠φ denkleminin tam olarak n kökü vardır; hepsinin modülü R1/n’dir ve argümanları k = 0, 1, …, n − 1 için (φ + 360°·k)/n’dir: bir çember üzerinde eşit aralıklarla, 360°/n arayla dizilirler. p² < 4q olan z² + pz + q = 0 ikinci derece denkleminin karmaşık kökleri z = −p/2 ± j√(q − p²/4)’tür; gerçel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri her zaman a ± jb eşlenik çiftleri hâlindedir.
Köklerin modülü
2431/5 = 3
Kökün argümanı
θ₁ = (45° + 360°·1)/5 = 81°
Dikdörtgen biçim
z₁ = 3·(cos 81° + j sin 81°) = 0,4693 + j2,963
Im(z₁) = 2,963
Cevap
Im(z₁) = 2,963
5 kök, yarıçapı 3 olan çember üzerinde, birbirinden 72° arayla durur.
3.AC empedans ve fazörler
Cevap: cos φ = 0,6332
Fazörlerle AC devreleri: direnç, bobin ve kondansatörün empedansları R, jωL ve 1/(jωC)’dir; ω = 2πf. Seride empedanslar dirençler gibi, ancak karmaşık sayı olarak toplanır. Rms akım ve gerilim |Z| ile Ohm yasasına uyar.
Reaktanslar
XL = 7,54 Ω, XC = 56,44 Ω
Empedans
|Z| = √(40² + (−48,9)²) = 63,17 Ω
Güç faktörü
cos φ = R/|Z| = 40/63,17 = 0,6332
Devre kapasitiftir, bu yüzden güç faktörü ileridir.
Cevap
cos φ = 0,6332
4.AC empedans ve fazörler
Cevap: VL = 176,8 V
Fazörlerle AC devreleri: direnç, bobin ve kondansatörün empedansları R, jωL ve 1/(jωC)’dir; ω = 2πf. Seride empedanslar dirençler gibi, ancak karmaşık sayı olarak toplanır. Rms akım ve gerilim |Z| ile Ohm yasasına uyar.
Rezonans
Rezonansta reaktanslar birbirini götürür, bu yüzden empedans yalnızca R’dir.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s
I = V/R = 5/2 = 2,5 A
Bobin üzerindeki gerilim
XL = ω₀L = 14142·0,005 = 70,71 Ω
VL = I·XL = 2,5·70,71 = 176,8 V
Cevap
VL = 176,8 V
Bu, kaynak geriliminin Q = 35,36 katıdır.
5.AC güç ve güç faktörü
Cevap: cos φ = 0,9844
AC güç: görünür güç S = V·I (VA), faydalı iş yapan aktif güç P = S·cos φ (W) ile kaynak ve yük arasında gidip gelen reaktif güç Q = S·sin φ (var) olarak ayrılır. Güç faktörü cos φ’dir. Paralel bir kondansatör reaktif gücü yerinde sağlar, böylece aynı aktif güç için hat akımı düşer.
Her yükün reaktif gücü
Geri güç faktörlü yük reaktif güç çeker (Q > 0); ileri güç faktörlü yük reaktif güç verir (Q < 0).
Q1 = 2·tan(arccos 0,65) = 2,338 kvar
Q2 = −18·tan(arccos 0,95) = −5,916 kvar
Toplamlar
P = 2 + 18 = 20 kW
Q = 2,338 + (−5,916) = −3,578 kvar
S = √(20² + (−3,578)²) = 20,32 kVA
Toplam güç faktörü
cos φ = P/S = 20/20,32 = 0,9844 ileri
Cevap
cos φ = 0,9844
6.AC güç ve güç faktörü
Cevap: ΔP = 56,63 kW
AC güç: görünür güç S = V·I (VA), faydalı iş yapan aktif güç P = S·cos φ (W) ile kaynak ve yük arasında gidip gelen reaktif güç Q = S·sin φ (var) olarak ayrılır. Güç faktörü cos φ’dir. Paralel bir kondansatör reaktif gücü yerinde sağlar, böylece aynı aktif güç için hat akımı düşer.
Mevcut yükün reaktif gücü
Q1 = 39·tan(arccos 0,8) = 29,25 kvar
En büyük toplam aktif güç
Tam değerde S = Smax’tır ve Q dirençsel yükle değişmez.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 29,25²) = 95,63 kW
Ek aktif güç
ΔP = 95,63 − 39 = 56,63 kW
Cevap
ΔP = 56,63 kW
7.LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği
Cevap: Q = 14,37
Q çarpanı ve bant genişliği: bir rezonans devresinde Q = 2π·(depolanan enerji)/(çevrim başına kaybolan enerji). Seri RLC için Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); paralel RLC için Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Yarım güç frekansları f1 ve f2 arasındaki bant genişliği (burada güç yarıya, akım ya da gerilim tepe değerinin 1/√2’sine iner) BW = f2 − f1 = f0/Q’dur; bu seride R/(2πL), paralelde 1/(2πRC)’dir. Rezonans frekansı geometrik ortalama f0 = √(f1f2)’dir ve f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Kayıplar salınımın sönmesine de yol açar: seri RLC’de genlik e−Rt/(2L) gibi azalır.
Q çarpanı ve bant genişliği: bir rezonans devresinde Q = 2π·(depolanan enerji)/(çevrim başına kaybolan enerji). Seri RLC için Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); paralel RLC için Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Yarım güç frekansları f1 ve f2 arasındaki bant genişliği (burada güç yarıya, akım ya da gerilim tepe değerinin 1/√2’sine iner) BW = f2 − f1 = f0/Q’dur; bu seride R/(2πL), paralelde 1/(2πRC)’dir. Rezonans frekansı geometrik ortalama f0 = √(f1f2)’dir ve f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Kayıplar salınımın sönmesine de yol açar: seri RLC’de genlik e−Rt/(2L) gibi azalır.
Bant genişliğinden endüktans
L = R/(2π·BW) = 100/(2π·1000) = 0,01592 H
Rezonans frekansından kapasitans
C = 1/((2π·20000)²·0,01592) = 3,979 × 10⁻⁹ F = 3,979 nF
Cevap
C = 3,979 nF
Q = f₀/BW = 20.
9.Üç fazlı güç
Cevap: P = 17,04 kW
Dengeli üç fazlı sistemler: Y (yıldız) bağlantıda fazlar arası gerilim faz geriliminin √3 katıdır, VL = √3·Vph, ve hat akımı faz akımına eşittir. Δ (üçgen) bağlantıda fazlar arası gerilim faz gerilimine eşittir ve hat akımı faz akımının √3 katıdır, IL = √3·Iph. Toplam güç bir fazın gücünün üç katıdır: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Görünür güç
S = √3·VL·IL = √3·400·30 = 20,78 kVA
Aktif güç
P = S·cos φ = 20,78·0,82 = 17,04 kW
Cevap
P = 17,04 kW
10.Üç fazlı güç
Cevap: QC = 35,95 kvar
Dengeli üç fazlı sistemler: Y (yıldız) bağlantıda fazlar arası gerilim faz geriliminin √3 katıdır, VL = √3·Vph, ve hat akımı faz akımına eşittir. Δ (üçgen) bağlantıda fazlar arası gerilim faz gerilimine eşittir ve hat akımı faz akımının √3 katıdır, IL = √3·Iph. Toplam güç bir fazın gücünün üç katıdır: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Güç faktörü düzeltme: kondansatörler reaktif gücü yerinde sağlar, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Üç kondansatörün her biri QC/3 = V²·ω·C sağlar; burada V o kondansatör üzerindeki gerilimdir: Δ grupta VL, Y grupta VL/√3.
Önce ve sonra reaktif güç
Aktif güç değişmediği için her güç faktörü reaktif gücü belirler: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,98) = 60·0,2031 = 12,18 kvar
Kondansatörlerin sağladığı reaktif güç
QC = Q1 − Q2 = 35,95 kvar
Cevap
QC = 35,95 kvar
11.RC ve RL geçici rejim
Cevap: W(∞) = 1,152 mJ
Birinci derece geçici rejim: tek kondansatörlü veya tek bobinli bir devrede her gerilim ve akım başlangıç değerinden son değerine üstel olarak gider: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC veya τ = L/R ile. Yaklaşık 5τ sonra devre oturur.
Zaman sabiti ve son akım
Anahtar kapandıktan uzun süre sonra bobin kısa devre gibi davranır; bu yüzden son akımı yalnızca R belirler.
τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms
i(∞) = Vs/R = 24/50 = 0,48 A
Depolanan enerji
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0,48² = 1,152 mJ
Cevap
W(∞) = 1,152 mJ
12.RC ve RL geçici rejim
Cevap: i = 1,263 A
Birinci derece geçici rejim: tek kondansatörlü veya tek bobinli bir devrede her gerilim ve akım başlangıç değerinden son değerine üstel olarak gider: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC veya τ = L/R ile. Yaklaşık 5τ sonra devre oturur.
Başlangıç değeri, son değer, zaman sabiti
t = 0’dan önce iki direnç de devrededir; sonra kapalı anahtar R₂’yi devre dışı bırakır.
i(0) = 15/(10 + 15) = 0,6 A
i(∞) = 15/10 = 1,5 A
τ = L/R = 150/10 = 15 ms
i(t) = 1,5 + (0,6 − 1,5)·e−t/τ
Verilen andaki akım
i(20) = 1,5 + (−0,9)·e−20/15 = 1,263 A
Cevap
i = 1,263 A
13.Thévenin ve Norton
Cevap: Vth = 11,25 V
Thévenin teoremi: her doğrusal iki uçlu ağ, Rth direncine seri tek bir Vth gerilim kaynağı gibi davranır. Norton teoremi aynı ağı Rth ile paralel IN = Vth/Rth akım kaynağı olarak verir.
Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun
Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.
R1 ∥ R2 = 10·6/(10+6) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 2 = 5,75 Ω
Açık devre gerilimi Vth’yi bulun
a–b açıkken R₃’ten akım geçmez, bu yüzden üzerinde düşüm yoktur ve V_b = V_A olur. R₁ ve R₂ bir gerilim bölücü oluşturur.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·6/(10+6) = 11,25 V
14.Thévenin ve Norton
Cevap: IN = −0,1087 A
Thévenin teoremi: her doğrusal iki uçlu ağ, Rth direncine seri tek bir Vth gerilim kaynağı gibi davranır. Norton teoremi aynı ağı Rth ile paralel IN = Vth/Rth akım kaynağı olarak verir.
Tüm kaynaklar kapalıyken Rth’yi bulun
Gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devreyle değiştirin, sonra devreye a–b’den bakın.
R1 ∥ R2 = 10·6/(10+6) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 25 = 28,75 Ω
Açık devre gerilimi Vth’yi bulun
a–b açıkken Iₛ’nin tek yolu R₃ üzerinden A düğümüne gitmektir. V_A’yı V₁ ve Iₛ’nin süperpozisyonuyla bulun, sonra R₃ üzerindeki düşümü ekleyin.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 11,25 + (−0,5)·3,75 = 9,375 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,375 + (−0,5)·25 = −3,125 V
Norton eşdeğeri
Norton kaynağı, aynı devrenin R_th ile paralel bir akım kaynağı olarak görünümüdür. Akımı, a–b’deki kısa devre akımıdır.
IN = Vth/Rth = −3,125/28,75 = −0,1087 A
15.Bode diyagramları ve paylar
Cevap: φ = −78,73 °
Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ωc = 1/(RC) ya da R/L ve fc = ωc/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ve φ = −atan(ω/ωc) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jωc). Faz kesişimi ω180: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.
Köşe frekansı
ωc = 1/(RC) = 1/(4700·1 × 10⁻⁷) = 2128 rad/s
fc = 338,6 Hz → f/fc = 1700/338,6 = 5,02
Faz
φ = − atan(5,02) = −78,73°
Cevap
φ = −78,73°
16.Bode diyagramları ve paylar
Cevap: PM = 65,53 °
Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ωc = 1/(RC) ya da R/L ve fc = ωc/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ve φ = −atan(ω/ωc) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jωc). Faz kesişimi ω180: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.