Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

V düğümlü ve E kenarlı bir çizgede Bellman–Ford algoritmasının zaman karmaşıklığı nedir?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Karar verilemez bir problem ile çözülemez (intractable) bir problem arasındaki fark nedir?

  1. AKarar verilemez bir problemin tüm girdiler için algoritması yoktur; çözülemez bir problemin algoritması vardır ama çok yavaştır
  2. BÇözülemez problemler hiçbir algoritmayla çözülemez, karar verilemez olanlar ise yalnızca üstel zaman gerektirir
  3. CHer ikisi de problemin hiç algoritması olmadığı anlamına gelir
  4. DKarar verilemez problemler NP'de, çözülemez problemler P'dedir
3.Veri yapılarıOrta

Hangi çakışma çözümleme yöntemi çakışan anahtarları aynı kovadaki bir listede saklar?

  1. ADoğrusal sondalama
  2. BAyrı zincirleme (separate chaining)
  3. CKaresel sondalama
  4. DÇift karma
4.Veri yapılarıZor

Splay ağacı her erişimden sonra ne yapar?

  1. AArama yolundaki düğümleri yeniden boyar
  2. BErişilen düğümü döndürmelerle köke taşır
  3. CAğacın tamamını dengeli biçimde yeniden oluşturur
  4. DErişilen düğümü bir yaprağa taşır
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 4 olan 2 köşe, derecesi 5 olan 4 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

2 × deg 44 × deg 5
L =
6.Graf kuramıZor
61381311011121ABCDEF

Ağırlıklı grafta A’dan C köşesine en kısa yolun uzunluğunu (d(C)) bulmak için Dijkstra algoritmasını kullanın.

başlangıç: Abitiş: C
d(C) =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · O(V × E)

Cevap neden bu

V − 1 turun her biri E kenarın tümünü gevşetir, bu da O(VE) verir; karşılığında negatif kenar ağırlıklarıyla başa çıkar.

Cevap

C · O(V × E)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Karar verilemez bir problemin tüm girdiler için algoritması yoktur; çözülemez bir problemin algoritması vardır ama çok yavaştır

Cevap neden bu

Durma probleminin hiç algoritması yoktur; TSP gibi NP-zor bir problem ise kaba kuvvetle çözülebilir, yalnızca bilinen bir polinom zamanda değil.

Cevap

A · Karar verilemez bir problemin tüm girdiler için algoritması yoktur; çözülemez bir problemin algoritması vardır ama çok yavaştır
3.Veri yapıları

Cevap: B · Ayrı zincirleme (separate chaining)

Cevap neden bu

Zincirleme her kova için bir bağlı liste (veya başka bir yapı) tutar; açık adresleme ise tablonun kendisinde başka bir boş yuva arar.

Cevap

B · Ayrı zincirleme (separate chaining)
4.Veri yapıları

Cevap: B · Erişilen düğümü döndürmelerle köke taşır

Cevap neden bu

Splay işlemi erişilen düğümü döndürmelerle köke taşır; tek bir işlem O(n) sürebilir, ancak amortize maliyet O(log n)'dir.

Cevap

B · Erişilen düğümü döndürmelerle köke taşır
5.Graf kuramı

Cevap: L = 18

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 28 = 2(L + 6) − 2
L = 18

Cevap

L = 18

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: d(C) = 8

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Dijkstra tur tur

Her satır: kesinleşen köşe, kesin uzaklığı ve uzaklığı iyileşen komşular.

A (0): B: 6, C: 13
B (6): D: 19, E: 7
E (7): C: 8, D: 17, F: 19
C (8)
D (17)
F (19)

En kısa yol

A → B → E → C
d(C) = 8

Cevap

d(C) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms