Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Basit özyinelemeli faktöriyel fonksiyonu fact(n) = n × fact(n − 1) ne kadar yığın (stack) alanı kullanır?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Hangi teknik, hızlı sıralama için her girdide beklenen O(n log n) çalışma süresini sağlar?

  1. AHer zaman ilk elemanı seçmek
  2. BHızlı sıralamayı çalıştırmadan önce girdiyi sıralamak
  3. CÖzyinelemeyi yalnızca sol tarafta kullanmak
  4. DPivotu düzgün dağılımla rastgele seçmek
3.Veri yapılarıOrta

Kapasitesi n olan bir dizide saklanan dairesel bir kuyrukta i indeksinden sonraki konum nasıl hesaplanır?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. Di + 1
4.Veri yapılarıZor

Öbek sıralaması (heapsort) hakkında hangi ifade doğrudur?

  1. AHer girdide O(n) sürede çalışır
  2. BKararlıdır ve O(n) ek bellek gerektirir
  3. CEk depolama olarak bir ikili arama ağacına ihtiyaç duyar, bu yüzden O(n) ek bellek kullanır
  4. DYerinde, en kötü durumda O(n log n) sürede sıralar, ancak kararlı değildir
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 3 olan 3 köşe, derecesi 5 olan 4 köşe, derecesi 2 olan 2 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

3 × deg 34 × deg 52 × deg 2
L =
6.Graf kuramıZor
142012151971491816ABCDEFG

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · O(n)

Cevap neden bu

Herhangi bir dönüş olmadan önce özyineleme n çağrı derinliğine ulaşır ve her çağrının bir yığın çerçevesine ihtiyacı vardır, bu yüzden O(n) alan kullanır.

Cevap

A · O(n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · Pivotu düzgün dağılımla rastgele seçmek

Cevap neden bu

Rastgele bir pivotla beklenen çalışma süresi her girdi için O(n log n)'dir; kötü durumlar hâlâ vardır ama olasılıkları çok düşüktür.

Cevap

D · Pivotu düzgün dağılımla rastgele seçmek
3.Veri yapıları

Cevap: A · (i + 1) mod n

Cevap neden bu

Mod işlemi n − 1 indeksini 0'a geri sarar; böylece dizi elemanlar kaydırılmadan yeniden kullanılır.

Cevap

A · (i + 1) mod n
4.Veri yapıları

Cevap: D · Yerinde, en kötü durumda O(n log n) sürede sıralar, ancak kararlı değildir

Cevap neden bu

Öbek sıralaması bir max-heap oluşturur ve aynı dizi içinde en büyük elemanı n kez çıkarır; uzun mesafeli yer değiştirmeler eşit anahtarların sırasını değiştirebilir.

Cevap

D · Yerinde, en kötü durumda O(n log n) sürede sıralar, ancak kararlı değildir
5.Graf kuramı

Cevap: L = 17

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 33 = 2(L + 9) − 2
L = 17

Cevap

L = 17

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: W = 48

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

AB (1): al
AC (4): al
EF (7): al
GC (9): al
CE (12): al
GB (14): atla, döngü kapatır
DE (15): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 4 + 7 + 9 + 12 + 15 = 48

Cevap

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms