Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Hızlı sıralamanın (quicksort) en kötü durum zaman karmaşıklığı nedir?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

log(n!) için hangi sınır doğrudur?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(log n)
3.Veri yapılarıOrta

Bir dizide saklanan ikili min-öbekte (indeks 0'dan başlar) i indeksindeki düğümün çocukları hangi konumlardadır?

  1. Ai/2 ve i/2 + 1
  2. Bi + 1 ve i + 2
  3. C2i + 1 ve 2i + 2
  4. D2i ve 2i + 1
4.Veri yapılarıZor

Atlamalı listenin (skip list) sıralı bağlı listeye göre başlıca avantajı nedir?

  1. AHer düğüm diğer tüm düğümlere bir işaretçi sakladığı için garantili O(1) arama
  2. BBirden çok ileri işaretçi seviyesi sayesinde beklenen O(log n) arama
  3. CAnahtarları sırasız saklaması
  4. DEk bellek kullanmaması
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 3 olan 3 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

3 × deg 3
L =
6.Graf kuramıZor
268910549ABCDEF

Ağırlıklı grafta A’dan F köşesine en kısa yolun uzunluğunu (d(F)) bulmak için Dijkstra algoritmasını kullanın.

başlangıç: Abitiş: F
d(F) =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · O(n²)

Cevap neden bu

Sürekli kötü pivotlarla (ör. zaten sıralı girdi ve ilk elemanın pivot seçilmesi) bölümler dengesiz olur ve O(n²) elde edilir. Ortalama durum O(n log n)'dir.

Cevap

A · O(n²)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Θ(n log n)

Cevap neden bu

log(n!) ≤ n log n'dir ve en büyük n / 2 çarpan log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) verir; karşılaştırmalı sıralamanın Ω(n log n) gerektirmesinin nedeni budur.

Cevap

C · Θ(n log n)
3.Veri yapıları

Cevap: C · 2i + 1 ve 2i + 2

Cevap neden bu

0 tabanlı dizilerde sol çocuk 2i + 1'de, sağ çocuk 2i + 2'de, ebeveyn ise ⌊(i − 1)/2⌋'de bulunur.

Cevap

C · 2i + 1 ve 2i + 2
4.Veri yapıları

Cevap: B · Birden çok ileri işaretçi seviyesi sayesinde beklenen O(log n) arama

Cevap neden bu

Rastgele seviyeler aramaların birçok düğümü atlamasını sağlar; bu da arama, ekleme ve silme için beklenen O(log n) süre verir.

Cevap

B · Birden çok ileri işaretçi seviyesi sayesinde beklenen O(log n) arama
5.Graf kuramı

Cevap: L = 5

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Cevap

L = 5

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: d(F) = 15

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Dijkstra tur tur

Her satır: kesinleşen köşe, kesin uzaklığı ve uzaklığı iyileşen komşular.

A (0): B: 2, C: 6
B (2): E: 11
C (6)
E (11): D: 21, F: 15
F (15): D: 20
D (20)

En kısa yol

A → B → E → F
d(F) = 15

Cevap

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms