Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

T(n) = 2T(n/2) + O(n) yineleme bağıntısının çözümü nedir?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Yeni bir X probleminin NP-zor olduğunu göstermek için ne yapmalısınız?

  1. AX'in küçük girdiler için polinom algoritması olmadığını göstermek
  2. BBilinen bir NP-zor problemi polinom zamanda X'e indirgemek
  3. CX'i polinom zamanda bilinen bir NP-zor probleme indirgemek
  4. DX'in polinom zamanda doğrulanabildiğini göstermek
3.Veri yapılarıOrta

AVL ağacı her düğümde hangi denge koşulunu korur?

  1. AHer düğüm kırmızı veya siyaha boyanır
  2. BHer düğümün her iki alt ağacı da tam olarak aynı sayıda düğüm içerir
  3. CSol ve sağ alt ağaçların yükseklikleri en fazla 1 farklıdır
  4. DTüm yapraklar tam olarak aynı derinliktedir
4.Veri yapılarıZor

Rütbeye göre birleştirme ve yol sıkıştırma kullanan union-find (ayrık küme) yapısının işlem başına amortize maliyeti nedir?

  1. AO(α(n)), ters Ackermann fonksiyonu; pratikte sabittir
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DTam olarak O(log n)
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 4 olan 2 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

2 × deg 4
L =
6.Graf kuramıZor
81091641723ABCDEF

Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı kurar. 2. kenar olarak eklediği kenara tıklayın; atlanan kenarlar sayılmaz.

k = 2
  1. 1kenar AB
  2. 2kenar AC
  3. 3kenar BC
  4. 4kenar BD
  5. 5kenar CE
  6. 6kenar DE
  7. 7kenar EF
  8. 8kenar BE

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · O(n log n)

Cevap neden bu

Ana teoreme (master theorem) göre (a = 2, b = 2, f(n) = n) T(n) = Θ(n log n) olur.

Cevap

B · O(n log n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · Bilinen bir NP-zor problemi polinom zamanda X'e indirgemek

Cevap neden bu

Bilinen zor bir problem verimli bir şekilde X'e dönüştürülebiliyorsa, X için hızlı bir algoritma bilinen problemi de çözerdi.

Cevap

B · Bilinen bir NP-zor problemi polinom zamanda X'e indirgemek
3.Veri yapıları

Cevap: C · Sol ve sağ alt ağaçların yükseklikleri en fazla 1 farklıdır

Cevap neden bu

Denge faktörü (sol yükseklik − sağ yükseklik) −1, 0 veya 1 olmalıdır; ekleme ve silmelerden sonra döndürmeler bunu geri getirir.

Cevap

C · Sol ve sağ alt ağaçların yükseklikleri en fazla 1 farklıdır
4.Veri yapıları

Cevap: A · O(α(n)), ters Ackermann fonksiyonu; pratikte sabittir

Cevap neden bu

Her iki optimizasyonla işlemler O(α(n)) amortize süre alır; gerçekçi her n için α(n) ≤ 4'tür.

Cevap

A · O(α(n)), ters Ackermann fonksiyonu; pratikte sabittir
5.Graf kuramı

Cevap: L = 6

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Cevap

L = 6

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: kenar BE

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

1. EF (2)
2. BE (3)
3. CE (4)
4. AB (8)
5. BD (16)

kenar numarası 2

BE

Cevap

kenar BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms