Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Etkinlik seçimi probleminde hangi açgözlü kural her zaman çakışmayan en fazla sayıda etkinliği verir?

  1. AEn erken biten etkinliği seç, sonra uyumlu olanlarla tekrarla
  2. BEn erken başlayan etkinliği seç
  3. CÖnce en kısa etkinliği seç
  4. DÖnce en az çakışması olan etkinliği seç, sonra uyumlu olanlarla tekrarla
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Maksimal bir eşleşmedeki her kenarın iki uç noktasını almak bir düğüm örtüsü verir. Bu örtü ne kadar iyidir?

  1. AEn fazla minimumun log n katıdır
  2. BOptimuma kıyasla kalitesi bilinmez
  3. CHer zaman minimum bir düğüm örtüsüdür
  4. DEn fazla minimum düğüm örtüsünün iki katı büyüklüğündedir
3.Veri yapılarıOrta

İkili öbeğe yeni bir eleman nasıl eklenir?

  1. ADaha büyük tüm elemanlar bir yer sağa kaydırılarak sıralı konumuna eklenir
  2. BKöke konur ve aşağı kaydırılır
  3. CDizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)
  4. DTüm öbek sıfırdan yeniden oluşturulur
4.Veri yapılarıZor

Bir kırmızı-siyah ağaç hangi özelliği sağlamalıdır?

  1. AHer kırmızı düğümün çocukları kırmızı olmalıdır, bu yüzden kırmızı düğümler yapraklara kadar kesintisiz zincirler oluşturur
  2. BBir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
  3. CKök kırmızı olmalıdır
  4. DHer düğüm kırmızı olmalıdır
5.Graf kuramıOrta

K8 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K8
H =
6.Graf kuramıZor
131410126718ABCDE

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · En erken biten etkinliği seç, sonra uyumlu olanlarla tekrarla

Cevap neden bu

En erken bitiş zamanını seçmenin optimal olduğu bir değiş tokuş argümanıyla kanıtlanabilir; diğer kuralların karşı örnekleri vardır.

Cevap

A · En erken biten etkinliği seç, sonra uyumlu olanlarla tekrarla
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · En fazla minimum düğüm örtüsünün iki katı büyüklüğündedir

Cevap neden bu

Eşleşme kenarları ortak düğüm paylaşmaz, bu yüzden optimum kenar başına en az bir düğüm gerektirir, bu yöntem ise iki düğüm alır: bir 2-yaklaşım.

Cevap

D · En fazla minimum düğüm örtüsünün iki katı büyüklüğündedir
3.Veri yapıları

Cevap: C · Dizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)

Cevap neden bu

Sona eklemek ağacı tam tutar; ebeveynle yer değiştirmek düzeni O(log n) adımda geri getirir.

Cevap

C · Dizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)
4.Veri yapıları

Cevap: B · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir

Cevap neden bu

Kırmızı-siyah kuralları: düğümler kırmızı ya da siyahtır, kök siyahtır, kırmızı düğümlerin çocukları siyahtır ve tüm yolların siyah yüksekliği eşittir; bu da yüksekliği ≤ 2 log₂(n + 1) tutar.

Cevap

B · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
5.Graf kuramı

Cevap: H = 2520

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Cevap

H = 2520
6.Graf kuramı

Cevap: W = 36

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

CE (6): al
DE (7): al
BC (10): al
BD (12): atla, döngü kapatır
AB (13): al

Toplam ağırlık

W = 6 + 7 + 10 + 13 = 36

Cevap

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms