Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Hangi sıralama algoritması kararlıdır?

  1. ASeçmeli sıralama (tipik sürüm)
  2. BYığın sıralaması
  3. CHızlı sıralama (tipik yerinde sürüm)
  4. DBirleştirmeli sıralama
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Bellman–Ford algoritması kaynaktan ulaşılabilen negatif ağırlıklı bir döngüyü nasıl tespit eder?

  1. ADerinlik öncelikli aramayla döngüleri sayar
  2. BDijkstra algoritmasını iki kez çalıştırır ve iki uzaklık sonucunu karşılaştırır
  3. CHerhangi bir kenarın negatif ağırlığa sahip olup olmadığını kontrol eder
  4. DV − 1 turdan sonra herhangi bir kenarın hâlâ gevşetilebilip gevşetilemediğini kontrol eder
3.Veri yapılarıOrta

Sabit bir alfabeye sahip bir trie'de L uzunluğundaki bir sözcüğü aramak ne kadar sürer?

  1. AO(L × n)
  2. BKaç sözcük saklandığından bağımsız olarak O(L)
  3. CO(n); n sözcük sayısıdır
  4. DO(log n); n sözcük sayısıdır
4.Veri yapılarıZor

n sayılık bir dizi üzerindeki bir Fenwick ağacı (binary indexed tree) hangi işlemleri O(log n)'de destekler?

  1. AÖnek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini
  2. BMedyanı O(1)'de bulmayı
  3. CDiziyi sıralamayı ve ikili aramayı
  4. DHerhangi bir konuma eleman eklemeyi
5.Graf kuramıOrta

K7 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K7
H =
6.Graf kuramıZor
ABCDEF

A köşesinden E köşesine giden 3 uzunluğunda kaç gezinti vardır? Bir gezinti köşeleri ve kenarları tekrar edebilir. Sayıya N deyin.

M = komşuluk matrisiL = 3
N =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · Birleştirmeli sıralama

Cevap neden bu

Birleştirmeli sıralama, eşitlik durumunda birleştirme önce sol yarıdan eleman alırsa kararlıdır. Yerinde hızlı sıralama, yığın sıralaması ve seçmeli sıralama genellikle kararlı değildir.

Cevap

D · Birleştirmeli sıralama
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · V − 1 turdan sonra herhangi bir kenarın hâlâ gevşetilebilip gevşetilemediğini kontrol eder

Cevap neden bu

Tüm gerçek en kısa uzaklıklar V − 1 tur içinde bulunur; bir kenar hâlâ iyileştirilebiliyorsa negatif bir döngü olmalıdır.

Cevap

D · V − 1 turdan sonra herhangi bir kenarın hâlâ gevşetilebilip gevşetilemediğini kontrol eder
3.Veri yapıları

Cevap: B · Kaç sözcük saklandığından bağımsız olarak O(L)

Cevap neden bu

Her karakter bir çocuk seçer, bu nedenle trie kaç sözcük içerirse içersin bir arama L adım sürer.

Cevap

B · Kaç sözcük saklandığından bağımsız olarak O(L)
4.Veri yapıları

Cevap: A · Önek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini

Cevap neden bu

Fenwick ağacı, her indeksin düşük bitleriyle belirlenen aralıklar üzerinde kısmi toplamlar saklar; bu nedenle hem önek toplamları hem de nokta güncellemeleri O(log n) sürer.

Cevap

A · Önek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini
5.Graf kuramı

Cevap: H = 360

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Cevap

H = 360
6.Graf kuramı

Cevap: N = 3

Dereceler: bir köşenin derecesi ona değen kenar sayısıdır. Her kenarın iki ucu vardır; bu yüzden dereceler kenar sayısının iki katını verecek şekilde toplanır: Σ deg(v) = 2|E| (el sıkışma lemması). Dolayısıyla derecesi tek olan köşelerin sayısı çifttir. Kn grafının n(n − 1)/2 kenarı vardır, n köşeli k-düzgün bir grafın nk/2 kenarı vardır ve n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır.

Komşuluk matrisi

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Bir adım daha

(M³)AE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 2·0 + 0·1 = 3

Cevap

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms