Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Prim algoritması minimum kapsayan ağacı nasıl oluşturur?

  1. ADöngü kalmayana kadar en pahalı kenarı çıkarır
  2. BGenişlik öncelikli arama çalıştırır ve BFS ağacını tutar
  3. CBir başlangıç düğümünden tek bir ağaç büyütür ve ağaçtan çıkan en ucuz kenarı ekler
  4. DTüm kenarları ağırlığa göre sıralar ve ormanda döngü oluşturmayacaksa her birini ekler
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Eklemeli sıralama sıralı girdide O(n)'de çalışır. Bu, karşılaştırmalı sıralama için Ω(n log n) alt sınırıyla çelişir mi?

  1. AHayır, çünkü eklemeli sıralama bir karşılaştırmalı sıralama değildir
  2. BEvet, ama yalnızca 100'den kısa diziler için
  3. CEvet, dolayısıyla alt sınır yanlıştır
  4. DHayır, alt sınır her girdiye değil, tüm girdiler üzerinden en kötü duruma uygulanır
3.Veri yapılarıOrta

Bir diziyi dolaşmak, aynı uzunluktaki bir bağlı listeyi dolaşmaktan pratikte neden çoğu zaman çok daha hızlıdır?

  1. ADiziler değerleri karşılaştırmak için daha az komut kullanır
  2. BDizi elemanları bitişik olduğu için CPU önbelleğini iyi kullanırlar
  3. CDizi dolaşımı toplamda O(1), bağlı liste dolaşımı O(n)'dir
  4. DBağlı listeler elemanları her zaman diskte saklar
4.Veri yapılarıZor

İkili öbekte (elemanın konumu biliniyorsa) decrease-key işleminin zaman karmaşıklığı nedir?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 3 olan 3 köşe, derecesi 4 olan 3 köşe, derecesi 5 olan 3 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Graf kuramıZor
ABCDE

D köşesinde başlayıp biten 3 uzunluğunda kaç kapalı gezinti vardır? Bir gezinti köşeleri ve kenarları tekrar edebilir. Sayıya N deyin.

M = komşuluk matrisiL = 3
N =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Bir başlangıç düğümünden tek bir ağaç büyütür ve ağaçtan çıkan en ucuz kenarı ekler

Cevap neden bu

Kesen kenarlar için bir öncelik kuyruğu kullanan Prim algoritması ikili yığınla O(E log V) sürede çalışır.

Cevap

C · Bir başlangıç düğümünden tek bir ağaç büyütür ve ağaçtan çıkan en ucuz kenarı ekler
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · Hayır, alt sınır her girdiye değil, tüm girdiler üzerinden en kötü duruma uygulanır

Cevap neden bu

Sınır, her karşılaştırmalı sıralamanın n boyutundaki bir girdide yaklaşık n log n karşılaştırma gerektirdiğini söyler; özel girdiler çok daha hızlı olabilir.

Cevap

D · Hayır, alt sınır her girdiye değil, tüm girdiler üzerinden en kötü duruma uygulanır
3.Veri yapıları

Cevap: B · Dizi elemanları bitişik olduğu için CPU önbelleğini iyi kullanırlar

Cevap neden bu

Bitişik bellek iyi bir başvuru yerelliği sağlar; bağlı düğümler ise dağınık olabilir ve çok sayıda önbellek ıskalamasına yol açabilir.

Cevap

B · Dizi elemanları bitişik olduğu için CPU önbelleğini iyi kullanırlar
4.Veri yapıları

Cevap: A · O(log n)

Cevap neden bu

Anahtar azaltıldıktan sonra eleman en fazla öbeğin yüksekliği kadar yukarı çıkar. Fibonacci öbekleri amortize O(1) decrease-key sağlar.

Cevap

A · O(log n)
5.Graf kuramı

Cevap: L = 20

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 36 = 2(L + 9) − 2
L = 20

Cevap

L = 20

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: N = 2

Dereceler: bir köşenin derecesi ona değen kenar sayısıdır. Her kenarın iki ucu vardır; bu yüzden dereceler kenar sayısının iki katını verecek şekilde toplanır: Σ deg(v) = 2|E| (el sıkışma lemması). Dolayısıyla derecesi tek olan köşelerin sayısı çifttir. Kn grafının n(n − 1)/2 kenarı vardır, n köşeli k-düzgün bir grafın nk/2 kenarı vardır ve n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır.

Komşuluk matrisi

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bir adım daha

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Cevap

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms