Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Negatif olmayan kenar ağırlıklarına sahip bir grafta tek bir kaynaktan en kısa yolları hangi algoritma bulur?

  1. ADijkstra algoritması
  2. BKruskal algoritması
  3. CDerinlik öncelikli arama (DFS)
  4. DHer durumda Bellman–Ford gereklidir
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Bazı kenar ağırlıkları negatif olduğunda Dijkstra algoritması neden yanlış sonuçlar verebilir?

  1. AHer negatif kenarda sonsuz döngüye girer
  2. BYalnızca yönsüz çizgelerde çalışır
  3. CBir düğüm çıkarıldığında kesinleşir, ama sonraki bir negatif kenar ona yine de daha kısa bir yol verebilir
  4. DNegatif sayılar bir öncelik kuyruğunda saklanamaz
3.Veri yapılarıOrta

İkili öbek (heap) neden hiç işaretçi olmadan bir dizide saklanabilir?

  1. ADiziler anahtarları otomatik olarak sıralı tuttuğu için işaretçiye gerek kalmaz
  2. BBir öbekteki tüm anahtarlar eşittir
  3. CTam bir ikili ağaç olduğu için konumlar basit indeks formüllerini izler
  4. DÖbekler hiçbir zaman 100'den fazla eleman içermez
4.Veri yapılarıZor

Segment ağacı (segment tree) genellikle ne için kullanılır?

  1. ABir yığın gerçekleştirmek için
  2. BAralık sorgularını (aralık toplamları gibi) ve güncellemeleri O(log n) sürede yanıtlamak için
  3. CBir grafın kenarlarını saklamak için
  4. DHer önekü ayrı bir ağaç düğümünde saklayarak dizeleri alfabetik sıralamak için
5.Graf kuramıOrta

Bağlantılı bir grafın 14 köşesi ve 22 kenarı vardır. Bir kapsayan ağaç kalması için kaç kenar (k) kaldırılmalıdır?

|V| = 14|E| = 22
k =
6.Graf kuramıZor
ABCDE

C köşesinden A köşesine giden 3 uzunluğunda kaç gezinti vardır? Bir gezinti köşeleri ve kenarları tekrar edebilir. Sayıya N deyin.

M = komşuluk matrisiL = 3
N =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Dijkstra algoritması

Cevap neden bu

Dijkstra algoritması negatif olmayan ağırlıklarla çalışır; Bellman–Ford negatif ağırlıkları da işler; Kruskal ise minimum kapsayan ağaçlar oluşturur.

Cevap

A · Dijkstra algoritması
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Bir düğüm çıkarıldığında kesinleşir, ama sonraki bir negatif kenar ona yine de daha kısa bir yol verebilir

Cevap neden bu

Açgözlü adım, çıkarılan uzaklıkların kesin olması için negatif olmayan ağırlıklara dayanır; ağırlıklar negatif olabiliyorsa Bellman–Ford kullanılır.

Cevap

C · Bir düğüm çıkarıldığında kesinleşir, ama sonraki bir negatif kenar ona yine de daha kısa bir yol verebilir
3.Veri yapıları

Cevap: C · Tam bir ikili ağaç olduğu için konumlar basit indeks formüllerini izler

Cevap neden bu

Tamlık boşluk olmadığı anlamına gelir, bu nedenle i indeksinin çocukları her zaman 2i + 1 ve 2i + 2'dedir.

Cevap

C · Tam bir ikili ağaç olduğu için konumlar basit indeks formüllerini izler
4.Veri yapıları

Cevap: B · Aralık sorgularını (aralık toplamları gibi) ve güncellemeleri O(log n) sürede yanıtlamak için

Cevap neden bu

Segment ağacı aralıklar için toplu değerler saklar ve aralık sorgularını ve nokta güncellemelerini O(log n) sürede destekler.

Cevap

B · Aralık sorgularını (aralık toplamları gibi) ve güncellemeleri O(log n) sürede yanıtlamak için
5.Graf kuramı

Cevap: k = 9

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Kapsayan ağacın kenarları

14 − 1 = 13

Kaldırılacak kenarlar

k = 22 − 13 = 9

Cevap

k = 9
6.Graf kuramı

Cevap: N = 3

Dereceler: bir köşenin derecesi ona değen kenar sayısıdır. Her kenarın iki ucu vardır; bu yüzden dereceler kenar sayısının iki katını verecek şekilde toplanır: Σ deg(v) = 2|E| (el sıkışma lemması). Dolayısıyla derecesi tek olan köşelerin sayısı çifttir. Kn grafının n(n − 1)/2 kenarı vardır, n köşeli k-düzgün bir grafın nk/2 kenarı vardır ve n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır.

Komşuluk matrisi

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Bir adım daha

(M³)CA = 1·0 + 1·1 + 2·1 + 1·0 + 1·0 = 3

Cevap

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms