Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Bir problemin optimal alt yapıya sahip olması ne anlama gelir?

  1. AOptimal bir çözüm, alt problemlerinin optimal çözümlerinden oluşturulabilir
  2. BProblemin tam olarak bir optimal çözümü vardır ve bu çözümü her alt problem paylaşır
  3. CProblem sabit zamanda çözülebilir
  4. DHer alt problem aynı boyuttadır
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

V düğümlü ve E kenarlı bir çizgede ikili yığınla Dijkstra algoritmasının çalışma süresi nedir?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³)
  3. CO(V × E)
  4. DO((V + E) log V)
3.Veri yapılarıOrta

7 boyutlu bir karma tablosu h(k) = k mod 7 ve doğrusal yoklama (linear probing) kullanıyor. 10 eklendikten sonra 17 nerede saklanır?

  1. Aİndeks 6
  2. Bİndeks 0
  3. Cİndeks 3
  4. Dİndeks 4
4.Veri yapılarıZor

Bir kırmızı-siyah ağaç hangi özelliği sağlamalıdır?

  1. ABir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
  2. BKök kırmızı olmalıdır
  3. CHer kırmızı düğümün çocukları kırmızı olmalıdır, bu yüzden kırmızı düğümler yapraklara kadar kesintisiz zincirler oluşturur
  4. DHer düğüm kırmızı olmalıdır
5.Graf kuramıOrta

K6 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K6
H =
6.Graf kuramıZor
111331551817ABCDE

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Optimal bir çözüm, alt problemlerinin optimal çözümlerinden oluşturulabilir

Cevap neden bu

Hem açgözlü algoritmaların hem de dinamik programlamanın doğru yanıtlar üretmesi için optimal alt yapı gereklidir.

Cevap

A · Optimal bir çözüm, alt problemlerinin optimal çözümlerinden oluşturulabilir
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · O((V + E) log V)

Cevap neden bu

V extract-min ve en fazla E decrease-key işlemi vardır, her biri O(log V); Fibonacci yığını bunu O(E + V log V)'ye iyileştirir.

Cevap

D · O((V + E) log V)
3.Veri yapıları

Cevap: D · İndeks 4

Cevap neden bu

10 mod 7 = 3 ve 17 mod 7 = 3'tür; indeks 3 doludur, bu nedenle doğrusal yoklama bir sonraki yuvayı, indeks 4'ü dener.

Cevap

D · İndeks 4
4.Veri yapıları

Cevap: A · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir

Cevap neden bu

Kırmızı-siyah kuralları: düğümler kırmızı ya da siyahtır, kök siyahtır, kırmızı düğümlerin çocukları siyahtır ve tüm yolların siyah yüksekliği eşittir; bu da yüksekliği ≤ 2 log₂(n + 1) tutar.

Cevap

A · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
5.Graf kuramı

Cevap: H = 60

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Cevap

H = 60
6.Graf kuramı

Cevap: W = 34

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

BC (3): al
CE (5): al
AB (11): al
AC (13): atla, döngü kapatır
BD (15): al

Toplam ağırlık

W = 3 + 5 + 11 + 15 = 34

Cevap

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms