Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

T(n) = T(n − 1) + O(n) yinelemesinin çözümü nedir?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Hangi teknik, hızlı sıralama için her girdide beklenen O(n log n) çalışma süresini sağlar?

  1. AÖzyinelemeyi yalnızca sol tarafta kullanmak
  2. BHızlı sıralamayı çalıştırmadan önce girdiyi sıralamak
  3. CHer zaman ilk elemanı seçmek
  4. DPivotu düzgün dağılımla rastgele seçmek
3.Veri yapılarıOrta

Yüksekliği kenar sayısı olarak h olan mükemmel bir ikili ağacın kaç düğümü vardır?

  1. A2h
  2. Bh2
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h + 1
4.Veri yapılarıZor

Splay ağacı her erişimden sonra ne yapar?

  1. AErişilen düğümü bir yaprağa taşır
  2. BAğacın tamamını dengeli biçimde yeniden oluşturur
  3. CErişilen düğümü döndürmelerle köke taşır
  4. DArama yolundaki düğümleri yeniden boyar
5.Graf kuramıOrta

Bağlantılı bir grafın 16 köşesi ve 18 kenarı vardır. Bir kapsayan ağaç kalması için kaç kenar (k) kaldırılmalıdır?

|V| = 16|E| = 18
k =
6.Graf kuramıZor
1141559718ABCDE

Prim algoritması A köşesinden başlayarak en küçük kapsayan ağacı kurar. 3. kenar olarak eklediği kenara tıklayın.

başlangıç: Ak = 3
  1. 1kenar AB
  2. 2kenar AC
  3. 3kenar BC
  4. 4kenar BD
  5. 5kenar CE
  6. 6kenar DE
  7. 7kenar BE

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · O(n²)

Cevap neden bu

İş toplamı yaklaşık n² / 2 eder; bu, seçmeli sıralamanın veya en kötü pivotla hızlı sıralamanın yinelemesidir.

Cevap

B · O(n²)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · Pivotu düzgün dağılımla rastgele seçmek

Cevap neden bu

Rastgele bir pivotla beklenen çalışma süresi her girdi için O(n log n)'dir; kötü durumlar hâlâ vardır ama olasılıkları çok düşüktür.

Cevap

D · Pivotu düzgün dağılımla rastgele seçmek
3.Veri yapıları

Cevap: C · 2h+1 − 1

Cevap neden bu

1 + 2 + 4 + ... + 2h toplamı 2h+1 − 1 verir; örneğin yükseklik 2 için 7 düğüm vardır.

Cevap

C · 2h+1 − 1
4.Veri yapıları

Cevap: C · Erişilen düğümü döndürmelerle köke taşır

Cevap neden bu

Splay işlemi erişilen düğümü döndürmelerle köke taşır; tek bir işlem O(n) sürebilir, ancak amortize maliyet O(log n)'dir.

Cevap

C · Erişilen düğümü döndürmelerle köke taşır
5.Graf kuramı

Cevap: k = 3

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Kapsayan ağacın kenarları

16 − 1 = 15

Kaldırılacak kenarlar

k = 18 − 15 = 3

Cevap

k = 3
6.Graf kuramı

Cevap: kenar DE

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Prim algoritması

1. AB (1)
2. BD (5)
3. DE (7)
4. CE (9)

kenar numarası 3

DE

Cevap

kenar DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms