Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Dinamik programlama, bir problemde hangisi olduğunda yararlıdır?

  1. AHiç alt problem olmaması; bu yüzden tek adımda çözülebilir
  2. BÖrtüşen alt problemler ve optimal alt yapı
  3. CTek bir döngü
  4. DYalnızca rastgele girdiler
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Karatsuba çarpması T(n) = 3T(n/2) + O(n) yinelemesini sağlar. Bunun çözümü nedir?

  1. AΘ(nlog₂ 3), yaklaşık n1,585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n log n)
3.Veri yapılarıOrta

Kapasitesi n olan bir dizide saklanan dairesel bir kuyrukta i indeksinden sonraki konum nasıl hesaplanır?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Veri yapılarıZor

Segment ağacı (segment tree) genellikle ne için kullanılır?

  1. AHer önekü ayrı bir ağaç düğümünde saklayarak dizeleri alfabetik sıralamak için
  2. BAralık sorgularını (aralık toplamları gibi) ve güncellemeleri O(log n) sürede yanıtlamak için
  3. CBir yığın gerçekleştirmek için
  4. DBir grafın kenarlarını saklamak için
5.Graf kuramıOrta
ABCDEFEuler devresiEuler yolu, devre yokhiçbiri

Bağlantılı grafın bir Euler devresi mi, devre olmayan bir Euler yolu mu var, yoksa hiçbiri mi? Cevabınıza tıklayın.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler devresi
  2. 2Euler yolu, devre yok
  3. 3hiçbiri
6.Graf kuramıZor
59106155134ABCDEF

Ağırlıklı grafta A’dan F köşesine en kısa yolun uzunluğunu (d(F)) bulmak için Dijkstra algoritmasını kullanın.

başlangıç: Abitiş: F
d(F) =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · Örtüşen alt problemler ve optimal alt yapı

Cevap neden bu

Örtüşen alt problemlerin sonuçlarını saklamak (memoizasyon veya tablolama) tekrarlanan işi önler ve üstel algoritmaları polinom algoritmalara dönüştürür.

Cevap

B · Örtüşen alt problemler ve optimal alt yapı
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Θ(nlog₂ 3), yaklaşık n1,585

Cevap neden bu

log₂ 3 ≈ 1,585 > 1 olduğundan, ana teoreme göre yapraklar baskındır; bu, O(n²) okul yöntemini geride bırakır.

Cevap

A · Θ(nlog₂ 3), yaklaşık n1,585
3.Veri yapıları

Cevap: A · (i + 1) mod n

Cevap neden bu

Mod işlemi n − 1 indeksini 0'a geri sarar; böylece dizi elemanlar kaydırılmadan yeniden kullanılır.

Cevap

A · (i + 1) mod n
4.Veri yapıları

Cevap: B · Aralık sorgularını (aralık toplamları gibi) ve güncellemeleri O(log n) sürede yanıtlamak için

Cevap neden bu

Segment ağacı aralıklar için toplu değerler saklar ve aralık sorgularını ve nokta güncellemelerini O(log n) sürede destekler.

Cevap

B · Aralık sorgularını (aralık toplamları gibi) ve güncellemeleri O(log n) sürede yanıtlamak için
5.Graf kuramı

Cevap: Euler yolu, devre yok

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Dereceler

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Tek dereceli köşeler

B, E → 2
Euler yolu, devre yok

Cevap

Euler yolu, devre yok

Euler yolu bir tek dereceli köşeden başlar ve ötekinde biter.

6.Graf kuramı

Cevap: d(F) = 24

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Dijkstra tur tur

Her satır: kesinleşen köşe, kesin uzaklığı ve uzaklığı iyileşen komşular.

A (0): B: 5, C: 9
B (5): D: 11, E: 9
C (9)
E (9)
D (11): F: 24
F (24)

En kısa yol

A → B → D → F
d(F) = 24

Cevap

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms