Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

m ve n uzunluğundaki dizgilerin en uzun ortak alt dizisi için standart dinamik programlama algoritmasının zaman karmaşıklığı nedir?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Bu sağlanabilirlik problemlerinden hangisinin polinom zamanda çözülebildiği bilinmektedir?

  1. AHer yan tümcenin en fazla iki literal içerdiği 2-SAT
  2. BBirleşimli normal biçimdeki formüller üzerinde genel SAT
  3. CHer yan tümcenin tam olarak üç literal içerdiği 3-SAT
  4. DDevre sağlanabilirliği
3.Veri yapılarıOrta

Yüksekliği kenar sayısı olarak h olan mükemmel bir ikili ağacın kaç düğümü vardır?

  1. Ah2
  2. B2h+1 − 1
  3. C2h
  4. D2h + 1
4.Veri yapılarıZor

Bir kırmızı-siyah ağaç hangi özelliği sağlamalıdır?

  1. AHer kırmızı düğümün çocukları kırmızı olmalıdır, bu yüzden kırmızı düğümler yapraklara kadar kesintisiz zincirler oluşturur
  2. BHer düğüm kırmızı olmalıdır
  3. CBir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
  4. DKök kırmızı olmalıdır
5.Graf kuramıOrta

K6 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K6
H =
6.Graf kuramıZor
511311441110ABCDEF

Ağırlıklı grafta A’dan D köşesine en kısa yolun uzunluğunu (d(D)) bulmak için Dijkstra algoritmasını kullanın.

başlangıç: Abitiş: D
d(D) =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · O(mn)

Cevap neden bu

Tablonun (m + 1)(n + 1) hücresi vardır ve her biri komşularından O(1)'de hesaplanır.

Cevap

B · O(mn)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Her yan tümcenin en fazla iki literal içerdiği 2-SAT

Cevap neden bu

2-SAT P'dedir (güçlü bağlantılı bileşenlerle doğrusal zamanda), 3-SAT ise NP-tamdır.

Cevap

A · Her yan tümcenin en fazla iki literal içerdiği 2-SAT
3.Veri yapıları

Cevap: B · 2h+1 − 1

Cevap neden bu

1 + 2 + 4 + ... + 2h toplamı 2h+1 − 1 verir; örneğin yükseklik 2 için 7 düğüm vardır.

Cevap

B · 2h+1 − 1
4.Veri yapıları

Cevap: C · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir

Cevap neden bu

Kırmızı-siyah kuralları: düğümler kırmızı ya da siyahtır, kök siyahtır, kırmızı düğümlerin çocukları siyahtır ve tüm yolların siyah yüksekliği eşittir; bu da yüksekliği ≤ 2 log₂(n + 1) tutar.

Cevap

C · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
5.Graf kuramı

Cevap: H = 60

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Cevap

H = 60
6.Graf kuramı

Cevap: d(D) = 16

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Dijkstra tur tur

Her satır: kesinleşen köşe, kesin uzaklığı ve uzaklığı iyileşen komşular.

A (0): B: 5, C: 1
C (1): E: 12
B (5)
E (12): D: 16, F: 23
D (16): F: 20
F (20)

En kısa yol

A → C → E → D
d(D) = 16

Cevap

d(D) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms