Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Aşağıdan yukarıya bir tabloyla n. Fibonacci sayısını hesaplamanın zaman karmaşıklığı nedir?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Dinamik programlama ile çözülen 0/1 sırt çantası problemi O(nW) zaman alır. Buna neden sözde polinom (pseudo-polynomial) denir?

  1. AW bir sayıdır, bu yüzden süre W'yi yazmak için kullanılan bit sayısına göre üsteldir
  2. BÇünkü yalnızca W = 0 için çalışır
  3. CÇünkü algoritma rastgeleleştirilmiştir ve çalışma süresi her girdide değişir
  4. DÇünkü n her zaman küçüktür
3.Veri yapılarıOrta

50, 30, 70, 20, 40 anahtarları bu sırayla boş bir ikili arama ağacına ekleniyor. 30'un sol çocuğu nedir?

  1. A70
  2. B50
  3. C40
  4. D20
4.Veri yapılarıZor

n sayılık bir dizi üzerindeki bir Fenwick ağacı (binary indexed tree) hangi işlemleri O(log n)'de destekler?

  1. ADiziyi sıralamayı ve ikili aramayı
  2. BMedyanı O(1)'de bulmayı
  3. CÖnek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini
  4. DHerhangi bir konuma eleman eklemeyi
5.Graf kuramıOrta

K5 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K5
H =
6.Graf kuramıZor
20910361715ABCDE

Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı kurar. 4. kenar olarak eklediği kenara tıklayın; atlanan kenarlar sayılmaz.

k = 4
  1. 1kenar AB
  2. 2kenar AC
  3. 3kenar BC
  4. 4kenar BD
  5. 5kenar CE
  6. 6kenar DE
  7. 7kenar BE

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · O(n)

Cevap neden bu

Tabloyu 0'dan n'ye doldurmak girdi başına bir toplama gerektirir, bu yüzden iş üstel yerine doğrusaldır.

Cevap

A · O(n)
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · W bir sayıdır, bu yüzden süre W'yi yazmak için kullanılan bit sayısına göre üsteldir

Cevap neden bu

Çalışma süresi W'nin değerine göre polinom, ancak uzunluğuna (log W bit) göre üsteldir; 0/1 sırt çantası problemi NP-tamdır.

Cevap

A · W bir sayıdır, bu yüzden süre W'yi yazmak için kullanılan bit sayısına göre üsteldir
3.Veri yapıları

Cevap: D · 20

Cevap neden bu

20, 50'den ve 30'dan küçüktür, bu nedenle 30'un sol çocuğu olur; 40 ise sağ çocuğu olur.

Cevap

D · 20
4.Veri yapıları

Cevap: C · Önek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini

Cevap neden bu

Fenwick ağacı, her indeksin düşük bitleriyle belirlenen aralıklar üzerinde kısmi toplamlar saklar; bu nedenle hem önek toplamları hem de nokta güncellemeleri O(log n) sürer.

Cevap

C · Önek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini
5.Graf kuramı

Cevap: H = 12

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Cevap

H = 12
6.Graf kuramı

Cevap: kenar BC

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

1. BD (3)
2. CE (6)
3. AC (9)
4. BC (10)

kenar numarası 4

BC

Cevap

kenar BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms